Kruskal的最小生成树算法贪婪的算法2

算法原理

Kruskal算法是一种用来求图的最小生成树的贪心算法。最小生成树是指原图中连接所有节点的子图中，所有边的权值之和最小的子图。 Kruskal最小生成树算法的基本思想是：将图中的边按照权值从小到大排序，然后依次加入到生成树中，如果加入该边后形成环，则不加入该边。具体实现时可以用一个并查集来判断是否形成环。

Kruskal算法的第二种贪心策略是：将所有节点看作是一个个分离的集合，然后通过不断合并相邻的集合，最终得到一个生成树。

算法流程

1. 初始化并查集，将所有节点看作是相互独立的集合；
2. 对所有边按照权值从小到大排序；
3. 依次取出每条边，如果边的两个端点不在同一个集合中，则将它们合并，并将该边加入到生成树中；
4. 直到生成树中含有n-1条边，其中n为原图中节点的个数。

代码实现

以下是Kruskal算法贪婪的算法2的Python实现：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        xr, yr = self.find(x), self.find(y)
        if xr != yr:
            if self.rank[xr] < self.rank[yr]:
                xr, yr = yr, xr
            self.parent[yr] = xr
            if self.rank[xr] == self.rank[yr]:
                self.rank[xr] += 1

class KruskalMST:
    def __init__(self, n, edges):
        self.n = n
        self.edges = edges

    def kruskal(self):
        uf = UnionFind(self.n)
        self.edges.sort(key=lambda e: e[2])
        mst = []
        for u, v, w in self.edges:
            if uf.find(u) != uf.find(v):
                uf.union(u, v)
                mst.append((u, v, w))
            if len(mst) == self.n - 1:
                break
        return mst

时间复杂度

Kruskal算法贪婪的算法2的时间复杂度为O(mlogm)，其中m为图中边的数量，是排序的时间复杂度。最坏情况下，排序的时间复杂度为O(mlogm)。对于稠密图，m接近于n^2，因此该算法的时间复杂度为O(n^2logn)。