最小的(大于S)长度为K的字符串，其字母为S的子集

概述

给定一个字符串S和一个整数K，需要找到一个最小的字符串，使其长度为K，且该字符串的所有字符均在字符串S中出现过。

解决方案

一种简单的解决方案是使用回溯算法。即从S中找出所有长度为K的子串，然后选取其中满足要求的子串中字典序最小的一个。

但是，该方法的时间复杂度为O(n^k)，n为S的长度，当K比较大时，该方法的效率非常低下。

因此，我们需要采用一种更高效的算法来解决该问题。

前缀树

一种可行的解决方案是使用前缀树（Trie Tree）。

前缀树是一种用于存储字符串集合的树形数据结构，它的主要优点是能够在O(L)的时间复杂度内实现字符串的查找、插入、删除等操作，其中L为字符串的长度。

对于本问题，我们可以使用前缀树来存储字符串S中的所有子串，然后依次选取每个字符，查找其后继节点，直到找到一个满足长度为K且字典序最小的字符串。

二分查找

另一种可行的解决方案是使用二分查找。

我们可以假设最终的答案为x，然后使用二分查找来确定x的值。具体地，我们可以从S中任选一个字符c，然后将x的前k-1个字符设为c，之后判断S中是否存在包含这个前缀的长度为k的子串。如果存在，则将x的第k个字符设为在S中大于c的最小字符，否则将x的第k个字符设为S中的最小字符。

这种方法的时间复杂度为O(nlogn)，比回溯算法要快一些，但是仍然不能满足对于大规模输入的要求。

最优解

最终，我们可以采用一种更加高效的算法，其时间复杂度仅为O(k)。

具体来说，我们可以分为两个阶段来解决该问题。

阶段一

首先，我们需要使用桶排序来统计字符串S中每个字符出现的次数。然后，我们从字符串S的最后一个字符开始，依次选取未被选中的字符，直到选出k个不同的字符为止。（如果不足k个，则可以从头部开始选取已经选出的字符，将其加入到当前集合中，直到集合大小为k）。

阶段二

接下来，我们需要使用字典序算法来在当前集合中查找最小的满足要求的字符串。

具体来说，我们设当前集合中的字符为c1,c2,...,ck。那么，在第i个位置上，我们需要找到一个字符串最小的字符ci，使得在S中ci及其后继节点出现的次数大于等于1，且在S中c1,c2,...,ci-1出现的次数大于等于其在当前集合中出现的次数。

这个过程可以通过维护一个桶来实现，桶中记录了在S中以ci开头的字符串出现的次数及其首字母的位置。然后，我们依次取最小的ci，将其添加到结果字符串中，更新桶中记录的位置与出现次数，直到结果字符串长度为k。

代码实现

def smallest_k_string(S: str, K: int) -> str:
    # 阶段一
    counter = [0] * 26
    for c in S:
        counter[ord(c) - ord('a')] += 1
    chosen = []
    for i in range(25, -1, -1):
        if counter[i] > 0:
            chosen.append(chr(i + ord('a')))
        if len(chosen) == K:
            break
    if len(chosen) < K:
        for c in chosen:
            counter[ord(c) - ord('a')] -= 1
        for i in range(26):
            if counter[i] > 0:
                chosen.append(chr(i + ord('a')))
            if len(chosen) == K:
                break
    # 阶段二
    bucket = [[] for i in range(26)]
    for i in range(len(S) - K + 1):
        if S[i] in chosen:
            bucket[ord(S[i]) - ord('a')].append(i)
    ans = ''
    for i in range(K):
        for c in chosen:
            idx = ord(c) - ord('a')
            if len(bucket[idx]) == 0:
                continue
            ok = True
            for j in range(i):
                if chosen[j] == c:
                    break
                if bucket[idx][0] <= bucket[ord(chosen[j]) - ord('a')][-1]:
                    ok = False
                    break
            if ok:
                ans += c
                bucket[idx].pop(0)
                break
    return ans

总结

本文介绍了两种高效的算法来解决最小的(大于S)长度为K的字符串，其字母为S的子集问题。第一种算法使用了前缀树来加速字符串搜索的过程，第二种算法使用了二分查找来确定字符串中的每个位置应该填写哪一个字符。最后，本文还介绍了一种时间复杂度为O(k)的最优解，该解法使用了桶排序和字典序算法，可以在较短的时间内得出最优解。