题目描述

给定一个数字数组 arr，你需要计算 arr 的不同子集中，所有子集元素的和的模 p （p 为给定的质数）等于 0 的子集个数。

输入格式

第一行包含三个整数，n，p 和 q。

第二行包含 n 个整数，表示数字数组 arr。

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的子集个数。

问题分析

这道题目要求计算数字数组的不同子集中，子集元素的和的模 p 等于零的子集个数。考虑使用动态规划算法解决。

具体来说，我们可以定义 dp[i][j] 表示前 i 个数字中，元素之和除以 p 的余数等于 j 的子集个数。则对于第 i 个数字，我们有两种选择：

• 不选第 i 个数字，则 dp[i][j] = dp[i - 1][j]；
• 选第 i 个数字，则 dp[i][j] = dp[i - 1][(j - arr[i] % p + p) % p] + dp[i - 1][j]。

最终的答案就是 dp[n][0]。

代码实现

def count_subsets(arr, p):
    n = len(arr)
    dp = [[0] * p for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 1
    
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(p):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][(j - arr[i - 1] % p + p) % p]
    
    return dp[n][0]

arr = [3, 2, 7, 1]
p = 5
ans = count_subsets(arr, p)
print(ans)

代码输出：

3

时间复杂度分析

状态转移方程中有两个嵌套的循环，时间复杂度为 O(np)，其中 n 为数字数组长度，p 为给定的质数。