运输问题第三组(最低成本单元法)

问题描述

某公司需要将A、B、C三种产品运输到不同的销售点，有三个生产厂家可以供货。每个厂家的供应能力有限，每个销售点的需求量也不同，每种产品从不同的厂家运往不同的销售点的成本也不相同。求出在运输成本最低的情况下，各个厂家供应的数量和各个销售点的需求量的配给方案。

最低成本单元法

最低成本单元法是指在所给的由供需数据构成的运输表中，先在其中找出一个运输成本最低的单元，即以最低价格从该供应商运输到该销售点的单元，然后将对应的供需量按照此单元的数量（即最小运输成本）予以配给；随后删除此销售点的需求量已满足或该供货商的供货量已全部用完的行或列，对剩余的矩阵再重新进行最小成本单元的配给，如此下去，直到配给完为止。

算法实现

本题可以使用Python语言进行求解，下面给出一份代码片段，以供参考。

import numpy as np

# 定义运输量矩阵
supply = np.array([10, 20, 30])  # 供应量
demand = np.array([20, 10, 30, 10])  # 需求量
cost = np.array([[8, 5, 6, 10],
                 [6, 4, 3, 7],
                 [9, 7, 5, 8]])

# 初始化结果矩阵
result = np.zeros((3, 4), dtype=int)

while True:
    # 计算代价矩阵
    cost_matrix = np.zeros((3, 4))
    for i in range(3):
        for j in range(4):
            if supply[i] == 0 or demand[j] == 0:
                cost_matrix[i][j] = np.inf
            else:
                cost_matrix[i][j] = cost[i][j] / (result[i][j] + 1)
    # 找到最小元素
    i, j = np.unravel_index(cost_matrix.argmin(), cost_matrix.shape)
    cost_min = cost[i][j]
    min_val = min(supply[i], demand[j])
    # 更新result矩阵
    result[i][j] += min_val
    # 减去已卖出的运输量
    supply[i] -= min_val
    demand[j] -= min_val
    # 如果需求量和供应量都为0，则退出
    if (demand == 0).all() and (supply == 0).all():
        break

print(result)

这份代码片段使用了Python的numpy库，首先定义了运输量矩阵，然后初始化结果矩阵。接下来，进入循环，计算代价矩阵并找到运输成本最低的单元，更新结果矩阵，减去已卖出的运输量，如果需求量和供应量都为0，则退出循环，输出结果矩阵。

总结

最低成本单元法在解决运输问题时十分常用，其核心思想是不断找到运输成本最低的单元，先将这些单元满足需求，然后再去寻找次小值，直到整个运输表中的需求量和供应量都为0。这种方法不仅简单高效，而且能够得到成本最低的运输方案，因此得到了广泛的应用。