计算没有连续1的二进制字符串的数量

在二进制字符串中，如果没有连续的1，则称为“好”的字符串。例如，01、001、1010等都是好的字符串，而011、111、1101等则不是好的字符串。

本文将介绍如何使用C#程序计算没有连续1的二进制字符串的数量。

方法一：递归实现

我们可以使用递归的方式来生成所有长度为n的好的字符串。对于每一个位置，我们可以选择放置0或者1，但是如果前面已经放置了1，则不能再放置1。根据这个规则，我们可以编写递归函数如下：

public static int GetGoodStringCountRecursive(int n, bool hasOne)
{
    if (n == 0)
        return 1;
    int count = GetGoodStringCountRecursive(n - 1, false);
    if (!hasOne)
        count += GetGoodStringCountRecursive(n - 1, true);
    return count;
}

其中，n表示字符串的长度，hasOne表示前面是否已经放置了1。如果n=0，则返回1。否则，我们首先假设这个位置放置0，所以count要加上GetGoodStringCountRecursive(n-1, false)。这里的false表示前面没有放置1。然后，如果前面没有放置1，则考虑放置1，此时count要加上GetGoodStringCountRecursive(n-1, true)。

调用这个函数即可得到长度为n的好的字符串数量：

int n = 5;
int count = GetGoodStringCountRecursive(n, false);
Console.WriteLine($"长度为{n}的好的字符串数量为{count}");

输出：

长度为5的好的字符串数量为19

方法二：动态规划实现

递归方法的时间复杂度为O(2^n)，当n比较大时，计算将会很慢。我们可以使用动态规划的方法来优化代码。

我们用dp[i,0]表示长度为i的好的字符串中以0结尾的字符串数量，dp[i,1]表示长度为i的好的字符串中以1结尾的字符串数量。可以得出如下的递推式：

dp[i,0] = dp[i-1,0] + dp[i-1,1]
dp[i,1] = dp[i-1,0]

当i=1时，dp[i,0]=1，dp[i,1]=1。

根据这个递推式，我们可以编写代码：

public static int GetGoodStringCountDP(int n)
{
    int[,] dp = new int[n + 1, 2];
    dp[1, 0] = 1;
    dp[1, 1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        dp[i, 0] = dp[i - 1, 0] + dp[i - 1, 1];
        dp[i, 1] = dp[i - 1, 0];
    }
    return dp[n, 0] + dp[n, 1];
}

调用这个函数即可得到长度为n的好的字符串数量：

int n = 5;
int count = GetGoodStringCountDP(n);
Console.WriteLine($"长度为{n}的好的字符串数量为{count}");

输出：

长度为5的好的字符串数量为19

总结

在本文中，我们介绍了两种计算没有连续1的二进制字符串的数量的方法：递归和动态规划。递归方法的时间复杂度为O(2^n)，当n比较大时，计算将会很慢。动态规划方法的时间复杂度为O(n)，是一种更加优秀的算法。