计算长度为 N 的可能的二进制字符串

在计算长度为 N 的可能的二进制字符串时，有时需要限制字符串中连续 0 或者连续 1 的数量。其中一个常见的限制条件是：

• 字符串中不能有连续出现 P 个 0。
• 字符串中不能有连续出现 Q 个 1。

我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。

动态规划算法

我们可以用一个二维数组 dp[i][j] 表示长度为 i 且末尾有 j 个连续的 1 的可行字符串数量。其中，j 的取值范围为 0 到 Q。

考虑如何计算 dp[i][j]。我们可以将最后一位分为两种情况：

• 最后一位是 0。那么倒数第二位就不能是 0，否则就会有连续出现 P 个 0。因此，此时的可行方案数就是 dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + ... + dp[i-1][j]。
• 最后一位是 1。那么倒数第二位可以是任意数字，因此此时的可行方案数就是 dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + ... + dp[i-1][j-1]。

综上，我们可以计算出 dp[i][j] 的值：

dp[i][j] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + ... + dp[i-1][j]    (j < Q)
dp[i][j] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1] + ... + dp[i-1][Q-1]  (j = Q)

最终的答案就是 dp[N][0] + dp[N][1] + ... + dp[N][Q]。

代码实现

def count_binary_strings(N: int, P: int, Q: int) -> int:
    dp = [[0] * (Q+1) for _ in range(N+1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(Q+1):
            if j < Q:
                for k in range(j+1):
                    dp[i][j] += dp[i-1][k]
            else:
                for k in range(Q):
                    dp[i][j] += dp[i-1][k]
    return sum(dp[N])

总结

这种限制条件的二进制字符串问题可以用动态规划算法来解决。本文介绍了如何使用动态规划算法计算长度为 N 的可行二进制字符串数量，同时满足不出现 P 个连续的 0 和不出现 Q 个连续的 1 的限制条件。