'N减去最大完全平方数的次数'主题介绍

简介

该主题是指给定一个正整数N，求出从N减去最多个完全平方数后能得到的最小非负整数值。例如，当N=12时，最大的完全平方数为9，这时N减去1个完全平方数即为3，因为3是最小的非负整数，所以结果为3。

解题思路

要解决这个问题，我们需要找到N中最大的完全平方数，然后将它从N中减去，然后继续查找 N - 最大完全平方数 中的最大完全平方数，重复上述步骤直到 N = 0。

用动态规划解决这个问题，需要创建一个一维的DP数组，其中$dp[i]$表示 i 减去最大的完全平方数后的最小非负整数值。

首先，从1到N，依次填充数组。如果一个数本身就是完全平方数，那么这个数减去它本身就是0，所以$dp[i]$的值为1。

对于非完全平方数i，我们需要找到在区间[1, i-1]中最大的完全平方数j，然后将$dp[i]$的值设为$dp[i-j]+1$，因为将i减去j就可以获得一个完全平方数，同时还需要加上获得这个完全平方数所需的步数1。

代码实现

def numSquares(n: int) -> int:
    # 创建一个dp数组并填充为最大值
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    # 将dp[0]赋值为0
    dp[0] = 0
    # 依次填充dp数组
    for i in range(1, n+1):
        # 如果i本身就是完全平方数，那么dp[i]为1
        if int(i ** 0.5) ** 2 == i:
            dp[i] = 1
        # 对于非完全平方数i，枚举j在区间[1, i-1]中最大的完全平方数
        else:
            for j in range(1, int(i ** 0.5) + 1):
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j] + 1)
    # 返回dp[n]作为答案
    return dp[n]

结语

以上程序可以解决该主题，时间复杂度为O(n^1.5)，空间复杂度为O(n)。这个问题可以用动态规划的方法来解决，用一个DP数组来保存中间结果并填充。同时，可以使用数学知识来优化策略和提高运行速度。