查找可以放置在大小为n * m的矩形内的大小为2 * 1的矩形的数量

问题描述

给定一个大小为n * m的矩形网格，我们要求在其中放置大小为2 * 1的矩形（包括正放和横放）的方案数。

解法思路

我们可以设dp[i]表示在一个大小为i * 2的矩形中放置2 * 1的矩形的方案数。

那么显然当i=1时，只有一种放置方案；当i=2时，可以放置两个横放的2 * 1矩形或者两个正放的2 * 1矩形，有两种放置方案；当i>2时，对于第一个放置的矩形，我们有两种选择：放一个横放的2 * 1矩形或者放两个正放的2 * 1矩形；对于第二个放置的矩形，如果第一个放置的是横放的，则只能放一个正放的2 * 1矩形；如果第一个放置的是正放的，则可以选择放一个横放的2 * 1矩形或者一个正放的2 * 1矩形。综上所述，可以得到递推式：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。

最后，我们需要求解的是在大小为n * m的矩形中放置2 * 1的矩形的方案数，即dp[m]。

代码实现

def count_rectangles(n, m):
    dp = [1, 2] + [0] * (m - 2)
    for i in range(2, m):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[m-1] * n

测试案例

输入：

n = 3, m = 2

输出：

18

解释：

在一个3 * 2的矩形中放置2 * 1的矩形的方案数为dp[2] = 2，因此总方案数为dp[2] * n = 6 * 3 = 18。