使用段树查询指定范围的偶数和元素计数

简介

本文将介绍如何使用线段树（Segment Tree）数据结构查询给定范围内的偶数和元素的计数。线段树是一种树状数据结构，用于处理区间查询问题，主要用于静态查询和动态查询。本文将介绍动态查询使用方法。

问题描述

给定一个长度为 n 的序列 a，和两个整数 l 和 r，请查询 a[l…r] 中偶数和非偶数各有多少个。

解决方法

简单暴力

可以遍历区间 [l, r]，计算偶数和非偶数的个数，时间复杂度为 $O(r - l + 1)$。

线段树

使用线段树解决该问题，可以达到时间复杂度为 $O(logn)$。

线段树的构建

线段树是一棵平衡二叉树，每个节点表示包含一段区间 [l, r] 的区间信息，叶子节点表示单个元素。

线段树的构建过程可以采用递归方式实现。递归构建线段树时，先判断当前区间是否只有一个元素，如果是，将该区间范围信息和该元素信息（偶数或非偶数）保存到该节点中；否则，将当前区间划分为两个区间构建左右子树，然后合并左右子树的信息。合并时，左右子树的信息可以使用加法或者或运算等方式合并。

具体实现可以参考以下代码：

def build_tree(node, l, r):
    if l == r:
        # 叶子节点
        if nums[l] % 2 == 0:
            tree[node]["even"] = 1
        else:
            tree[node]["odd"] = 1
        return

    mid = (l + r) // 2
    build_tree(node * 2, l, mid)
    build_tree(node * 2 + 1, mid + 1, r)

    # 合并左右子树信息
    tree[node]["even"] = tree[node * 2]["even"] + tree[node * 2 + 1]["even"]
    tree[node]["odd"] = tree[node * 2]["odd"] + tree[node * 2 + 1]["odd"]

线段树的查询

查询过程可以采用递归方式实现。查询时，如果当前节点区间被包含在查询区间内，则返回该节点保存的信息；如果当前节点区间和查询区间有交集，则递归向下查询左右子树，并合并左右子树的查询结果。

代码实现如下：

def query(node, l, r, x, y):
    if x <= l and r <= y:
        # 当前节点区间被包含在查询区间内
        return tree[node]

    mid = (l + r) // 2
    res = {"even": 0, "odd": 0}
    if x <= mid:
        # 递归查询左子树
        left = query(node * 2, l, mid, x, y)
        res["even"] += left["even"]
        res["odd"] += left["odd"]

    if mid + 1 <= y:
        # 递归查询右子树
        right = query(node * 2 + 1, mid + 1, r, x, y)
        res["even"] += right["even"]
        res["odd"] += right["odd"]

    return res

完整代码

nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
n = len(nums)

# 线段树节点信息
tree = [{"even": 0, "odd": 0} for _ in range(n * 4)]

# 构建线段树
build_tree(1, 0, n - 1)

# 查询区间 [3, 7] 的元素偶数和非偶数个数
res = query(1, 0, n - 1, 3, 7)

print(f"偶数个数：{res['even']}")
print(f"非偶数个数：{res['odd']}")

总结

本文介绍了如何使用线段树查询给定范围内的偶数和元素的计数。相比于暴力遍历，使用线段树可以达到时间复杂度更低的效果。线段树是一种常见的数据结构，可以解决很多区间查询问题。在实际应用中可以考虑使用。