最大化总和可被3整除的数组中的拆分数

简介

本文将介绍如何最大化总和可被3整除的数组中的拆分数。给定一个长度为 n 的数组 nums，你需要将其拆分成若干个子数组，其每个子数组的和都是3的倍数。最终需要返回拆分成的子数组的最大数量。

思路

要最大化可被3整除的子数组数量，我们需要考虑如下几个问题：

1. 总和是多少？
2. 余数是多少？

对于第一个问题，我们可以用动态规划来解决，定义一个大小为 n 的数组 dp，其中 dp[i] 表示前 i 个元素的和能否被3整除，初始化 dp[0]=True，然后逐个计算 dp[i]，规则如下：

• 若第 i 个元素 nums[i] 能被 3 整除，则 dp[i] = dp[i-1]；
• 若第 i 个元素 nums[i] 的余数是 1，则 dp[i] = dp[i-1] or dp[i-1] - 1；
• 若第 i 个元素 nums[i] 的余数是 2，则 dp[i] = dp[i-1] or dp[i-1] - 2；

最终，dp[n] 的值即为数组总和能否被 3 整除。

对于第二个问题，如果数组总和能被 3 整除，那么答案就是 n；如果数组总和不能被 3 整除，我们需要考虑去掉几个元素能够使得总和变为 3 的倍数，具体方法是：

1. 如果总和的余数是 1，我们先找到一个余数为 1 的元素，然后再找到另外两个余数为 2 的元素。
2. 如果总和的余数是 2，我们先找到一个余数为 2 的元素，然后再找到另外两个余数为 1 的元素。

通过贪心的策略，我们可以找到最大的可被 3 整除的子数组数量。

代码

下面是 Python 代码实现：

def maxSplit(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [False] * (n + 1)
    dp[0] = True

    for i in range(1, n + 1):
        if nums[i - 1] % 3 == 0:
            dp[i] = dp[i - 1]
        elif nums[i - 1] % 3 == 1:
            dp[i] = dp[i - 1] or dp[i - 1] - 1
        else:
            dp[i] = dp[i - 1] or dp[i - 1] - 2

    if not dp[n]:
        s = sum(nums)
        if s % 3 == 1:
            if 1 in nums:
                return n - nums.count(1) + 1
            elif 2 in nums and nums.count(2) >= 2:
                return n - 2 * nums.count(2) + 2
        elif s % 3 == 2:
            if 2 in nums:
                return n - nums.count(2) + 1
            elif 1 in nums and nums.count(1) >= 2:
                return n - 2 * nums.count(1) + 2

    return sum(dp)

结论

本题解介绍了如何最大化总和可被 3 整除的数组中的拆分数。通过动态规划求出总和能否被 3 整除，然后通过贪心算法去掉一些元素，最终得到满足条件的可拆分最大数量。