最大化从两个给定数组中选择的相同索引子数组的分数

问题描述

给定两个长度相等的整数数组 nums1 和 nums2，请找到各自数组中所选索引的相同子数组，并使这些子数组中的数字之和最大化。在选定的子数组中，可以同时选择 nums1 和 nums2 中的元素，但是不能同时选择两个数组中的相同索引位置上的元素。

解决方案

这是一个典型的动态规划问题。设 $dp[i][j]$ 表示包含 nums1[i] 和 nums2[j] 的相同子数组的最大和。考虑 nums1[i] 和 nums2[j] 是否应该包含在相同子数组中：

• 若将两个数字均排除，则子数组的和为 0 ，即 $dp[i][j]=0$。
• 若只将其中一个数字排除，则子数组中包含一个数字，即 $dp[i][j]=\max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])$。
• 若两个数字都保留，则子数组中既包含 nums1[i] ，也包含 nums2[j]，即 $dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+nums1[i] = dp[i-1][j-1]+nums2[j]$。

综上可得状态转移方程：

$$ dp[i][j]= \begin{cases} 0, & i=0 \text{ or } j=0 \ \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), & nums1[i] \neq nums2[j]\ dp[i-1][j-1]+nums1[i], & nums1[i]=nums2[j] \end{cases} $$

根据状态转移方程，初始化 $dp$ 数组，然后按照顺序填充每个 $dp[i][j]$，最后返回 $dp[n-1][n-1]$ 即可。

代码实现

以下是使用 Python 实现上述动态规划算法的代码：

def maxSum(nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
    n = len(nums1)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    dp[0][0] = nums1[0] if nums1[0] == nums2[0] else 0
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = nums1[i] if nums1[i] == nums2[0] else max(dp[i-1][0], 0)
        dp[0][i] = nums2[i] if nums1[0] == nums2[i] else max(dp[0][i-1], 0)
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
            if nums1[i] == nums2[j]:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + nums1[i])
    return dp[n-1][n-1]

复杂度分析

• 时间复杂度 $O(n^2)$：填充 $dp$ 数组的时间复杂度为 $O(n^2)$。

• 空间复杂度 $O(n^2)$：使用了一个 $n \times n$ 的 $dp$ 数组。