通过选择 M 个大小为 K 的子数组来最大化子数组和

介绍

本题给定一个长度为 N 的数组和两个正整数 M 和 K。要求从该数组中选择 M 个大小为 K 的子数组，使这 M 个子数组的和最大。

在解决该问题之前，我们有必要了解一下子数组这个概念。所谓子数组，就是在一个数组中取出连续的一段数所组成的数组。例如，对于数组 [1,2,3,4,5]，它的子数组有 [1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[1,2]、[2,3]、[3,4]、[4,5]、[1,2,3]、[2,3,4]、[3,4,5]、[1,2,3,4]、[2,3,4,5]、[1,2,3,4,5]。

接下来我们考虑如何解决本题。我们可以通过动态规划的思想来解决。设 dp[i][j][0/1] 表示当前已经选了 i 个子数组，最后一个子数组的末尾为 j，这个子数组当前是否已经选完（0 表示未选完，1 表示已选完）时，已经选出的子数组的和的最大值。

那么 dp[i][j][0/1] 如何转移呢？对于 dp[i][j][0] 转移，我们可以枚举 k，表示当前要选的子数组的起点是 k，此时：

dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i-1][k-1][1] + sum[j] - sum[k-1])

其中，sum[x] 表示数组前缀和，即第 1 项到第 x 项的和。由于数组下标从 0 开始，因此数组第 1 项的下标为 0，而第 k-1 项的下标为 k-2。

对于 dp[i][j][1] 转移，我们可以直接继承 dp[i][j-1][1] 的值，即：

dp[i][j][1] = dp[i][j-1][1]

最终的答案是 dp[M][N][1]，即已经选择了 M 个子数组，最后一个子数组的末尾为 N 时，已经选出的子数组的和的最大值。

详细代码如下：

def choose_subarrays(nums: List[int], M: int, K: int) -> int:
    N = len(nums)
    sum = [0] * (N + 1)
    dp = [[[0 for _ in range(2)] for _ in range(N+1)] for _ in range(M+1)]

    for i in range(1, N + 1):
        sum[i] = sum[i-1] + nums[i-1]

    # 初始化边界条件
    for j in range(K, N + 1):
        dp[1][j][1] = max(dp[1][j-1][1], sum[j] - sum[j-K])

    # 转移
    for i in range(2, M + 1):
        for j in range(K, N + 1):
            for k in range(i-1, j-K+2):
                dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i-1][k-1][1] + sum[j] - sum[k-1])
            dp[i][j][1] = dp[i][j-1][1]

    return dp[M][N][1]

总结

本题的核心思路是动态规划。需要注意的是，在进行 dp 转移时，当前要选的子数组的起点是从 i-1 到 j-K+2，而不是从 1 到 j-K+1。这是因为至少要选 i-1 个子数组，而且每个子数组的大小都是 K，因此最后一个子数组的起点最多只能到 j-(i-1)K+1，即 j-K(i-1)+1；同时，起点也不能比前一个子数组的末尾更靠前，因此必须从 i-1 开始枚举。