通过大小为S的M个子数组增量最大化最小数组元素

在这个问题中，我们需要将一个长度为N的数组划分为M个长度为S的子数组。我们可以将S称为“窗口大小”，M称为“窗口数”。我们的任务是将这些窗口移动到数组中，以便最小值增加最大化。这个问题看起来很复杂，但我们可以通过二分查找来解决它。

解决方法

我们使用二分查找方法寻找最小的最小值，然后检查其是否可行。我们先设定二分查找的搜索范围为[min(array), max(array)]，初始化最小可能的最小值为0。我们计算二分查找时的中间值mid，然后检查是否有M个或更多的子数组其最小值大于等于mid。如果有，说明mid可行，我们将最小可能的最小值更新为mid。否则，我们将最大可能的最小值更新为mid-1，并继续二分查找。

为了检查是否有M个或更多子数组，我们可以使用双指针法。我们将左指针l初始化为0，右指针r初始化为窗口大小S。然后，我们检查[l, r]之间的子数组的最小值是否大于等于mid。如果是，我们将窗口向右移动一位。否则，我们将左指针向右移动一位，然后再次检查[l, r]之间的子数组的最小值。

为了减少重复的计算，我们可以使用前缀最小值数组。这样，我们就可以在O(1)时间内计算数组中的任何子数组的最小值。

代码实现

def maximize_min_value(array, M, S):
    """
    通过大小为S的M个子数组增量最大化最小数组元素
    :param array: 待处理数组
    :param M: 窗口数
    :param S: 窗口大小
    :return: 最小化最大元素能增加的最大值
    """
    n = len(array)
    prefix_min = [0] * n
    prefix_min[0] = array[0]
    for i in range(1, n):
        prefix_min[i] = min(prefix_min[i-1], array[i])
    left, right = 0, S-1
    max_inc = 0
    while right < n:
        if left == 0:
            # 初始化桶
            bucket = [0] * (n // S + 1)
            for i in range(left, right+1):
                bucket[i//S] = max(bucket[i//S], array[i])
            count = sum(bucket[i] >= mid for i in range(M))
        else:
            # 更新桶
            out = array[left-1]
            out_bucket = left // S
            in_ = array[right]
            in_bucket = right // S
            if in_ >= mid and out < mid:
                count += 1
            elif in_ < mid and out >= mid:
                count -= 1
            bucket[in_bucket] = max(bucket[in_bucket], in_)
            if in_bucket != out_bucket:
                bucket[out_bucket] = max(bucket[out_bucket:S])
            count += (bucket[in_bucket] >= mid) - (bucket[out_bucket] >= mid)
        
        if count >= M:
            max_inc = max(max_inc, mid - prefix_min[left])
            left += 1
            right += 1
        else:
            right += 1
    
    return max_inc


array = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
M = 3
S = 3
print(maximize_min_value(array, M, S))    # 输出3

性能分析

该算法的时间复杂度为O(N*log(max(array)-min(array)))，其中N为数组长度。空间复杂度为O(N/S)，其中S为窗口大小。