查找一个总和可被数组大小整除的子数组

在数组中查找一个子数组，该子数组的元素之和可被数组大小整除。

具体而言，给定一个整数数组 nums，通过找到一个下标区间 (i,j]，使得 sum(nums[i:j]) 可被 j - i 整除。

若存在一个这样的子数组，则返回 true，否则返回 false。

解法一：枚举

最简单的方法是枚举所有子数组，检查它们的元素之和是否可被大小整除。时间复杂度为 $O(n^3)$，无法通过本题。

解法二：前缀和

算法

我们可以使用前缀和来加速计算。具体而言，令 $sum_i = \sum_{j=0}^{i-1} nums_j$ 表示前 $i$ 个元素的和。

对于下标区间 $(i,j]$，可知其元素之和为 $sum_j - sum_i$，若其可被区间长度 $j - i$ 整除，则有:

$$ sum_j - sum_i \equiv 0 \pmod{j - i} \ sum_j \equiv sum_i \pmod{j - i} $$

所以我们可以计算出所有可能的 $sum_i$，并按照模数进行分组。对于每一个分组，若分组大小 $\geq 2$，则说明存在一个合法的下标区间。

代码

class Solution:
    def checkSubarraySum(self, nums: List[int], k: int) -> bool:
        # 计算前缀和
        n = len(nums)
        prefix_sum = [0] * (n + 1)
        for i in range(1, n + 1):
            prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + nums[i - 1]
        # 划分分组
        hashmap = {}
        for i in range(n + 1):
            modulus = prefix_sum[i] % k
            if modulus in hashmap:
                if i - hashmap[modulus] > 1:
                    return True
            else:
                hashmap[modulus] = i
        return False

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 为数组大小，需要遍历数组一次。
• 空间复杂度：$O(min(n, k))$，其中 $k$ 为模数大小，因为模数不会超过数组大小 $n$，所以空间复杂度为 $O(min(n, k))$。