二叉树中等腰三角形的数量

在二叉树数据结构中，我们可以定义一种等腰三角形，这种三角形的 3 个顶点在二叉树任意 3 个节点上，且 2 条边必须在同一层级，另一条边在另一层级。

本文将会介绍如何计算二叉树中等腰三角形的数量。我们将会讨论两种不同的算法。

算法一：暴力法

最简单的算法就是枚举所有的三角形，然后判断其是否为等腰三角形。这种暴力算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是二叉树中节点的数量。

def count_triangles(root):
    result = 0
    for node1 in dfs(root):
        for node2 in dfs(node1.left) + dfs(node1.right):
            for node3 in dfs(node2.left) + dfs(node2.right):
                if is_equilateral(node1, node2, node3):
                    result += 1
    return result

def dfs(node):
    if not node:
        return []
    return [node] + dfs(node.left) + dfs(node.right)
    
def is_equilateral(a, b, c):
    if a.val == b.val == c.val:
        if same_level(a, b) and same_level(b, c):
            return True
    return False

def same_level(a, b):
    if (a is None) != (b is None):
        return False
    if a is None:
        return True
    if a == b:
        return True
    return same_level(a.left, b.left) and same_level(a.right, b.right)

为了计算每个节点与根节点之间的距离，我们需要按层级顺序遍历二叉树中的节点。dfs() 函数用于返回一个节点列表，其中第一个节点必须是根节点。is_equilateral() 函数用于判断三个节点是否在同一层级且有两个节点的值相等。

算法一复杂度分析

由于我们枚举了所有可能的三角形，所以算法一的时间复杂度非常高，为 $O(n^3)$。

算法二：优化算法

我们可以通过优化上述算法，达到更高效的计算等腰三角形的方式。

下面是优化算法的实现：

def count_triangles(node):
    result = 0
    dfs(node, set())
    for nodes in levels.values():
        result += count_pairs(nodes)
    return result

def dfs(node, ancestors):
    if not node:
        return
    levels[node] = set([node] | ancestors)
    dfs(node.left, levels[node])
    dfs(node.right, levels[node])

def count_pairs(nodes):
    result = 0
    count = {}
    for node in nodes:
        if node.val in count:
            result += count[node.val]
            count[node.val] += 1
        else:
            count[node.val] = 1
    return result

这种算法使用了两种数据结构：一个用于存储每个节点的祖先节点集合（levels），另一个用于计算个数（count）。

dfs() 函数使用递归方式遍历整个二叉树。对于每个节点，我们都会将其祖先节点添加到 levels 集合中。在添加完成后，我们对当前层级的所有节点（包括当前节点和其所有祖先节点）进行处理。

在 count_pairs() 函数中，我们首先对该层级内所有节点按照值进行计数，并对每个节点进行累加。然后，我们将等腰三角形的数量添加到结果中。

算法二复杂度分析

在算法二中，我们使用预处理技术减少了算法的总运行时间。以加速运行时间为代价，我们使用了 $O(n)$ 的空间用于预处理。

总结

在本文中，我们介绍了两种不同的算法用于计算二叉树中等腰三角形的数量，并对它们的效率进行了比较。算法一是基于暴力枚举的简单算法。算法二则使用了较复杂的预处理技术，以降低算法的运行时间。您可以根据需求选择适合自己的算法。