最大化沿路径从根顶点和有色顶点出现的无色顶点数

在图论中，我们通常需要找到一条路径来连接两个顶点。但有时，我们需要找到一条路径，使得该路径上出现的无色顶点数量最大化，并且该路径同时连接了根顶点和有色顶点。

下面介绍一种 C++ 实现方式。

数据结构

在此问题中，我们需要维护每个无色顶点的信息，包括其所属子图的大小、其是否接触有色顶点等。另外，我们还需要一个结构体来表示图中的每个顶点，其中包括其编号、颜色以及上述信息。

struct Vertex { // 顶点结构体
    int id; // 顶点编号
    int color; // 顶点颜色
    int size; // 子图大小
    bool touched; // 是否接触到有色点
    vector<int> adj; // 与其相邻的顶点编号
};

算法实现

首先，我们需要根据其在图中的位置，对每个顶点进行编号。我们假设根顶点的编号为 1，其余顶点的编号按 BFS 或 DFS 遍历的顺序编号（可以随意设定，但必须与下面的代码统一）。

// 遍历生成编号，其中 root 表示根节点的编号，vector<int> adj 表示每个顶点的相邻顶点编号
void traverse(int u, int& cnt, int root, unordered_map<int, Vertex>& vertex_map, const vector<vector<int>>& adj) {
    vertex_map[u] = {
        .id = cnt++,
        .color = vertex_map[u].color,
        .size = 1,
        .touched = (u == root || vertex_map[u].color != -1)
    };
    for (int v : adj[u]) {
        if (!vertex_map.count(v)) traverse(v, cnt, root, vertex_map, adj);
        vertex_map[u].adj.push_back(vertex_map[v].id);
        if (!vertex_map[v].touched) vertex_map[u].size += vertex_map[v].size;
        vertex_map[u].touched |= vertex_map[v].touched;
    }
}

同时，我们需要写一个函数来解决该问题。对于每个无色顶点，我们需要找到其儿子中最大化 size - touched 的子树，然后将其子树大小加入结果中。如果结果不能由任何一条路径所得，则返回 0。这个过程可以通过递归实现。

// 递归计算从 u 开始的最大化路径
int max_path(int u, const unordered_map<int, Vertex>& vertex_map, vector<vector<int>>& adj, vector<int>& memo) {
    if (memo[u] != -1) return memo[u];
    if (vertex_map[u].color != -1) { // 有色顶点
        memo[u] = 0;
        for (int v : adj[u]) {
            if (!vertex_map[v].touched) continue; // 无法接触到有色点
            int x = max_path(v, vertex_map, adj, memo);
            if (x == 0) return 0; // 中断递归
            memo[u] = max(memo[u], x + vertex_map[v].size);
        }
    } else { // 无色顶点
        memo[u] = -2;
        int best = -1;
        for (int v : adj[u]) {
            int x = max_path(v, vertex_map, adj, memo);
            if (x > best) { // 需要找到最大化 size - touched 的子树
                best = x;
                memo[u] = vertex_map[v].size - vertex_map[v].touched;
            } else if (x == best) { // 处理平局
                memo[u] = max(memo[u], vertex_map[v].size - vertex_map[v].touched);
            }
        }
        if (best == -1) memo[u] = 0;
    }
    return memo[u];
}

这个函数的返回值表示从给定顶点开始，最大化路径所覆盖的无色顶点数。在这个函数内部，我们使用 memo 数组来避免重复计算。

最后只需要调用上述函数即可得到最终的结果。

// 计算根顶点到所有有色顶点的最大化路径
unordered_map<int, int> calculate(const unordered_map<int, Vertex>& vertex_map, vector<vector<int>>& adj) {
    unordered_map<int, int> res;
    vector<int> memo(vertex_map.size(), -1);
    for (const auto& [_, v] : vertex_map) {
        if (v.color != -1) max_path(v.id, vertex_map, adj, memo);
    }
    for (const auto& [_, v] : vertex_map) {
        if (v.color == -1 && v.touched) res[v.id] = max_path(v.id, vertex_map, adj, memo) + 1;
    }
    return res;
}

结束语

至此，我们介绍了一种最大化沿路径从根顶点和有色顶点出现的无色顶点数的算法实现，该算法适用于任何无向连通图。