介绍

回文字符串是指正着读和倒着读一样的字符串，例如 "aba" 和 "racecar"。本文的问题是：给定一个字符串 A，找到一个回文字符串 B，使得 A 是 B 的子序列。

为了解决这个问题，我们需要先掌握子序列和回文字符串的概念，以及它们的计算方法。然后再考虑如何在 A 中找到一个回文字符串 B。最后，需要提供代码片段来解决这个问题。

子序列

所谓子序列，是指从原序列中取出若干个元素，不改变它们的顺序，构成一个新序列。例如序列 {1, 3, 5, 7} 的子序列有 {1, 5} 和 {3, 7} 等。

计算一个序列的子序列，可以使用动态规划的方法。假设原序列为 s，长度为 n，设 dp[i][j] 表示 s 中第 i 到第 j 个元素组成的子序列的数量。则可以得到递推式：

if s[i] == s[j]:
    dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] + 1
else:
    dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1]

其中，当 s[i] == s[j] 时，意味着可以在原有的子序列基础上新增一个字符 s[i]/s[j]，或者构建一个新的子序列 {s[i], s[j]}，因此要加上 1。而当 s[i] != s[j] 时，可以将 s[i] 与 dp[i + 1][j] 的所有子序列组合，或者将 s[j] 与 dp[i][j - 1] 的所有子序列组合，但是要去掉 s[i] 和 s[j] 重复计算的那部分，即 dp[i + 1][j - 1]。

最终要求的是整个序列 s 的子序列数量，即 dp[0][n - 1]。

回文字符串

回文字符串是指正着读和倒着读一样的字符串，具有对称性。若设字符串 A 的长度为 n，设 dp[i][j] 表示 A[i:j+1] 是否为回文字符串，则可以得到递推式：

if A[i] == A[j]:
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] if i + 1 <= j - 1 else True
else:
    dp[i][j] = False

其中，当 A[i] == A[j] 时，如果 A[i+1:j] 是回文字符串，则 A[i:j+1] 也是回文字符串。当 i+1>j-1 时，说明长度为 2 或 3，它们一定是回文字符串。而当 A[i] != A[j] 时，A[i:j+1] 一定不是回文字符串。

最终要求的是 A 的最长回文子序列长度，可以利用该递推式，将 dp 数组压缩至长度为 O(n)。

找到回文子序列

假设已知 A 的最长回文子序列 B 的长度为 m，可以利用两个指针 i 和 j，在 A 中从左至右扫描，尽可能多地匹配 B。

具体地，从 i = 0 和 j = 0 开始，如果 A[i] == B[j]，则可以将 B 的下标 j 加 1；否则仅将 A 的下标 i 加 1。如果从 i 到 j 的子串是回文字符串，则说明找到了一个满足条件的 B。

如果 B 的长度为奇数，只需要在回文中心的位置插入一个字符即可，例如将回文串 "aba" 变为 "abba"。如果 B 的长度为偶数，则随便插入一个字符即可。

代码片段

以下是 Python 代码片段，可以通过数值计算的方式解决本问题：

def lps(A):
    n = len(A)
    dp = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        newdp = dp[:]
        newdp[i] = 1
        for j in range(i + 1, n):
            if A[i] == A[j]:
                newdp[j] = dp[j - 1] + 2
            else:
                newdp[j] = max(dp[j], newdp[j - 1])
        dp = newdp[:]
    return dp[-1]

def find_palindrome_subsequence(A):
    n = len(A)
    m = lps(A)
    i = 0
    j = n - 1
    while i <= j and A[i] != A[j]:
        if lps(A[i + 1:j + 1]) == m - 1:
            return A[j] + A[i:j + 1] + A[j]
        if lps(A[i:j]) == m - 1:
            return A[j] + A[i:j] + A[j]
        i += 1
        j -= 1
    if i > j:
        return A[0] + A + A[0]
    k = i
    while i + m - 1 <= j:
        if lps(A[i:i + m - 1]) == m - 1:
            break
        i += 1
    while j - m + 1 >= i:
        if lps(A[j - m + 1:j + 1]) == m - 1:
            break
        j -= 1
    if k == i and lps(A[:m]) == m:
        return A[0:m]
    else:
        return A[j + 1:][::-1] + A[i:j + 1] + A[:i][::-1]

该代码片段包含两个函数。第一个函数 lps，表示“最长回文子序列”，输入参数 A 为字符串，返回值为最长回文子序列的长度。该函数的复杂度为 O(n^2)。

第二个函数 find_palindrome_subsequence，表示“找到回文子序列”，输入参数 A 为字符串，返回值为满足条件的回文子序列 B。该函数的实现过程即是上文中提到的从左至右扫描 A 的过程，其复杂度为 O(n^2)。

总复杂度为 O(n^2)。