一个字符串的最小子字符串数，使得所有子字符串都是 5 的幂

问题描述

给定一个字符串，找到最少的子字符串，使得每个子字符串都可以通过5的幂次来表示（即为5的整数次幂）。

解决方案

方法一：暴力枚举

首先我们可以想到最直接的暴力枚举方法。假设字符串的长度为n，那么可能的子字符串数量为$O(n^2)$，然后对每个子字符串进行检查是否可以表示成$5^k$的形式。

检查一个子字符串是否可以表示为$5^k$的整数幂可以使用快速幂算法。时间复杂度为$O(\log k)$，其中k是幂次。因此对于每个子字符串，检查时间复杂度为$O(\log n)$。

综上所述，该方法的时间复杂度为$O(n^3\log n)$，空间复杂度为$O(1)$。

方法二：优化枚举

观察到方法一中的时间复杂度过高，我们可以尝试通过优化枚举的方式来降低时间复杂度。

我们发现，对于字符串中的每个字符，它所表示的幂次只会在$\log_5n$的范围内。因此，我们可以从$\log_5n$开始枚举幂次，然后通过双指针法来判断是否存在一个子字符串可以表示为当前的幂次。

具体地，我们用左右指针表示当前枚举的幂次所对应的左右边界。如果当前左右指针所表示的子字符串可以表示为当前的幂次，那么右指针右移；否则左指针右移。当左指针和右指针重合时，如果当前幂次能够表示子字符串，则找到了一个子字符串，并将左指针和右指针指向下一个位置；否则说明不存在符合条件的子字符串，直接退出循环。

最后，令左指针从0开始遍历字符串，在其中寻找所有符合条件子字符串的最小数量。

该方法的时间复杂度为$O(n^2\log n)$，空间复杂度为$O(1)$。

方法三：动态规划

考虑到方法二仍有较大的优化空间，我们可以尝试使用动态规划来解决该问题。

我们定义$dp[i]$表示以第$i$个字符结尾的最短符合条件子字符串的长度。如果不存在符合条件的子字符串，则令$dp[i]=\infty$。

那么对于第$i$个字符，它可以分为两种情况：

• 如果该字符可以与前面的字符构成一个符合条件的子字符串，则我们可以从$dp[i-k]$转移而来，其中$k$为该符合条件的子字符串的长度。
• 否则，该字符无法与前面的字符构成一个符合条件的子字符串，因此$dp[i]=\infty$。

最终的答案即为$\min_{i=1}^ndp[i]$。

该方法的时间复杂度为$O(n^2\log n)$，空间复杂度为$O(n)$。

总结

本文提供了三种解法来解决该问题，包括暴力枚举、优化枚举和动态规划。其中优化枚举和动态规划的时间复杂度都为$O(n^2\log n)$，空间复杂度分别为$O(1)$和$O(n)$。在实际应用中，根据具体情况选择适当的解法可以更好地解决该问题。