最小化相邻数组元素之间的绝对差之和所需的最小交换次数

介绍

在程序员面试或者算法竞赛中，经常会遇到这样一个问题：给定一个长度为n的数组，你可以交换其中任意两个元素的位置，问最少需要交换多少次才能使相邻的元素之差的绝对值之和最小。

这个问题的意义在于，我们经常需要对数组进行排序，而对于某些特殊的排序问题，直接使用快排等标准排序算法可能无法达到最优（例如本题）。

思路

首先回忆一下排序的过程，排序的目的就是让数列变得有序。因此，对于本题，我们可以想到一种想法：先让数列变得有序，再计算变换次数。

具体来说，我们可以将数列升序排序，然后依次将排序后的数列元素按照原数列中出现的位置挪到其正确的位置上，这样就能够得到变换次数最小的排序了。

具体实现上，可以使用一个哈希表来记录数列元素和其出现位置的对应关系，然后将数列按照升序排序后，再遍历该数列，在哈希表中查找该元素对应的第一个位置，将其挪到正确的位置上即可。

代码示例：

hash_map<int, vector<int> > idx;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    idx[a[i]].push_back(i);
}

sort(a.begin(), a.end());

int ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    int x = a[i];
    int needed_pos = idx[x].back();
    idx[x].pop_back();

    ans += abs(i - needed_pos);
}

性能分析

本题的时间复杂度为$O(nlogn)$，其中$n$是数组长度。因为需要对数组进行升序排序，排序的时间复杂度为$O(nlogn)$，而后面的挪动操作只需要线性地遍历数组，并在哈希表中进行查找，因此时间复杂度为$O(n)$。

空间复杂度主要由哈希表所占用的空间决定，为$O(n)$。

总结

通过本题，我们了解了一种新的排序算法：将乱序的数列通过交换任意两个元素的位置变换为靠近正确位置的有序数列。这种排序算法的优点在于，只需要交换最小数量的元素，就能够得到相邻元素之差的绝对值之和最小的有序数列，因此对于某些特殊的排序问题，能够得到更好的效果。