使用瓷砖进行地板覆盖的最优解决方案

在地板覆盖的过程中，使用不同尺寸的瓷砖会对成本造成很大的影响。本文介绍一种使用尺寸为 11 和 12 的瓷砖将地板覆盖成本降至最低的算法。该算法基于贪心算法，能够得到一个近似最优的覆盖方案。

问题定义

假设一个长为 m，宽为 n 的地板需要被覆盖，使用的瓷砖可分为两种尺寸，分别为 11 和 12，且每种瓷砖均有相应的成本，求解如何使用这两种瓷砖才能让地板覆盖成本最低。

算法设计

贪心策略

该算法使用贪心策略，每次尽可能多地使用 12 瓷砖，当无法使用 12 瓷砖时再使用 1*1 瓷砖覆盖。

算法实现

def calculate_cost(m: int, n: int, cost_1_1: float, cost_1_2: float) -> float:
    # calculate how many 1*2 tiles we can use
    x = n // 2
    # calculate the cost of 1*2 tiles and 1*1 tiles
    cost_2 = x * cost_1_2
    cost_1 = (n - 2 * x) * cost_1_1
    # if the width is odd, there will be a border that can only use 1*1 tiles
    if n % 2 != 0:
        cost_1 += m * cost_1_1
    return cost_2 + cost_1

算法分析

时间复杂度

对于一个长为 m，宽为 n 的地板，算法的时间复杂度为 $O(1)$。

空间复杂度

算法空间复杂度也非常小，只有 $O(1)$。

结论

使用尺寸为 11 和 12 的瓷砖将地板覆盖的成本降至最低的算法，能够在保证覆盖方案合理性的情况下，得到一个近似最优的方案。