剪纸成最小平方数 | 套装2

剪纸成最小平方数是一个非常有趣的数学问题，也是一种优秀的算法题目。该问题是指将一个矩形剪成若干个小正方形，使得所剪出的小正方形数量最少，并且每个小正方形的边长都是整数。

考虑到大型纸张剪的难度，我们在这里讨论的矩形的边长以 1~10 的整数为限。对于任意给定的矩形，我们的任务是构建一个算法来计算最小的正方形数量。

可行的算法

有很多方法可以解决这个问题，从暴力的枚举到动态规划的O(N^2)复杂度算法，到更为高级的线性规划算法。下面将介绍其中的几个常见算法：

方法一：贪心算法

贪心算法是一种自上而下的解决方案，它尝试找到最优解，而不考虑其未来的结果。在剪纸问题中，这意味着我们将尝试在每个矩形中剪出最大的正方形，并递归处理余下的矩形。

假设矩形的高度 H，宽度为 W。如果 H 是 W 的倍数，那么最好的情况是将矩形剪成 W×W 的正方形，这样所需要的正方形数量最少。如果 H 不是 W 的倍数，我们可以剪出宽度为 a×W 和 b×W 的两个矩形，其中a和b为任意正整数，然后针对这两个矩形递归处理。这个过程可以重复进行，直到剩下一个正方形为止。

这个算法的时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。

方法二：递推算法

递推算法是一种自下而上的解决方案，它用已知信息计算未知结果。我们可以使用递推来构建一个矩阵，其中每个元素表示每个小正方形的大小。

例如，假设矩形的高度 H，宽度为 W。我们可以首先将矩形以某种方式剪成两个较小的矩形，然后使用递推算法计算每个小正方形的大小。我们可以使用以下递推公式来计算矩阵中每个元素的值：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1

其中dp[i][j]表示矩形的下标为（i，j）处的最小正方形大小。这个公式的意思是，每个小正方形的大小取决于它上方、左方和左上方三个相邻正方形的大小。我们可以从左上角开始，每次通过遍历矩阵计算出一个元素的值，直至右下角，整个过程时间复杂度为O(N^2)。

方法三：动态规划算法

动态规划算法也是一种自下而上的解决方案，它使用最优子结构来推导出最优解。我们可以用一个列表来记录每个矩形的最小正方形数量，然后逐个处理矩形，直至达到目标矩形。

例如，设f（i）代表高度为 i 的矩形的最小正方形数量。那么，我们可以使用以下公式来计算每个f（i）的值：

f(i) = min{f(j) + f(i-j)}    1 <= j < i

这个公式的意思是，高度为i的矩形可以划分成两个较小的矩形，并计算每个矩形的最小正方形数量。然后将这两个值相加，取最小值作为f（i）的值。逐个处理每个矩形即可，整个过程时间复杂度为O（N^2）。

总结

以上三种算法都可以解决剪纸成最小平方数问题。其中，贪心算法比较容易理解，但不一定总是最优解。递推算法和动态规划算法都是比较高效的求解方法，但细节较多，需要一定的数学功底。实际应用中可针对不同的场景采用不同的算法。

# 递推算法代码示例
h, w = map(int, input().split())

dp = [[0 for i in range(w)] for j in range(h)]

for i in range(h):
    for j in range(w):
        if i == 0 or j == 0:
            dp[i][j] = 1
        else:
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1

print(dp[-1][-1])

# 动态规划算法代码示例
h, w = map(int, input().split())

f = [0 for i in range(h+1)]
f[1] = 1

for i in range(2, h+1):
    f[i] = float('inf')
    for j in range(1, i):
        f[i] = min(f[i], f[j] + f[i-j])
    
print(f[h])

以上是本文对于剪纸成最小平方数问题的简要介绍和若干解法的分析，希望能对大家有所帮助。