将数组拆分为 K 个非空子集，以使它们的最大值和最小值之和最大化

在这个问题中，我们需要将一个数组分成K个非空子集，使得这K个子集的最大值和最小值之和最大化。这个问题在实际中有着很重要的应用。

例如，在一次比赛中，选手要参加K个不同的项目，每个项目对应着一个分数，选手必须参加所有的项目，而且每个项目只能参加一次。那么，如何选择参加的项目，使得选手的总分数最高？

这个问题可以转化成将分数数组按照某种方式划分为K个子集，使得每个子集中的最大值和最小值的和最大化。

解决方案

我们可以考虑使用动态规划来解决这个问题。我们可以将问题划分为子问题，设dp[i][j]表示将前i个数字划分为j个非空子集，使得最大值和最小值之和最大化的结果。

对于dp[i][j]，我们考虑它可能由哪些状态转移而来：

• 最后一个子集是一个单独的数字，即前面i-1个数字已经被分成了j-1个子集，最后一个子集是一个单独的数字nums[i]。
• 最后一个子集是一个区间，即前面i-k个数字已经被分成了j-1个子集，最后一个子集是区间[i-k+1, i]。

为了方便，我们可以先将nums数组从小到大排序。

考虑第一种情况，我们需要找到前面i-1个数字中最后一个子集的最大值和最小值，即max_val和min_val。然后，我们可以得到转移方程：

dp[i][j] = max(dp[k][j-1] + (i-k)*max_val + nums[i] - min_val)  (0 <= k < i)

其中，dp[k][j-1]表示前k个数字已经被划分为j-1个子集，max_val和min_val分别表示前面i-1个数字的最大值和最小值。

对于第二种情况，我们需要找到前面i-k个数字中最后一个子集的最大值和最小值，即max_val和min_val。然后，我们可以得到转移方程：

dp[i][j] = max(dp[k][j-1] + (i-k)*max_val - (i-k+1)*min_val)  (j-1 <= k < i)

其中，dp[k][j-1]表示前k个数字已经被划分为j-1个子集，max_val和min_val分别表示前面i-k个数字的最大值和最小值。

最终的答案是dp[n][k]，其中n为数组的长度。

代码实现

下面是这个问题的python代码实现。时间复杂度为O(n^2*k)。

def max_min_sum(nums, k):
    n = len(nums)
    nums.sort()
    dp = [[float('-inf')] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 0
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            for s in range(i):
                if s >= j-1:
                    max_val = max(nums[s:i])
                    min_val = min(nums[s:i])
                    if s == j-1:
                        dp[i][j] = max(dp[s][j-1] + (i-s)*max_val - s*min_val, dp[i][j])
                    else:
                        dp[i][j] = max(dp[s][j-1] + (i-s)*max_val - (i-s+1)*min_val, dp[i][j])
    
    return dp[n][k]

使用这个函数可以解决刚才提到的选手比赛的问题：

>>> nums = [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35]
>>> k = 3
>>> max_min_sum(nums, k)
110

这意味着，选手应该参加第1，3，7个项目，得分为110。