将数组拆分为 K 个子集以最大化它们的最大值和最小值的总和

问题描述

给定一个整数数组 nums，将该数组分成 k 个非空的连续子数组，使得这 k 个子数组的最大值和最小值的总和最大化。返回最大化的总和。

注意事项：

• 数组长度 n 满足 $1≤n≤100$。
• k 满足 $1≤k≤n$。
• 每个整数数组 nums 中的数字大小都不超过 10000。

思路

求解该问题的关键在于对于拆分出的 k 个子数组，如何确定它们的区间范围。

具体而言，首先我们可以将 nums 数组按照从大到小排序，然后将 nums 数组分割成 k 份，使得每份中包含相邻的若干个元素，且每份中元素的数量之和等于原数组的长度 n。

接着，我们对每份中的元素取最大值和最小值，并对它们的总和求和，即：

$$ \sum_{i=1}^k (\max_{j\in[l_i, r_i]}nums_j+\min_{j\in[l_i,r_i]}nums_j) $$

其中 $l_i$ 和 $r_i$ 分别表示第 $i$ 份元素在原数组 nums 中的左右边界，它们可以通过累加相邻元素的数量得到。

另外，需要注意的是，如果某份元素数量较少，则我们可以将多余的元素放到前面若干份，以尽可能平衡每份元素的数量。

示例代码

def splitArray(nums, k):
    """
    :type nums: List[int]
    :type k: int
    :rtype: int
    """
    # 将 nums 数组按照从大到小排序
    nums.sort(reverse=True)
    
    n = len(nums)
    seg_len = n // k # 各份元素数量
    remain = n % k # 余下的元素数量
    l, r = 0, -1 # 第 i 份的左右边界
    ans = 0
    
    for i in range(k):
        r += seg_len
        if i < remain: # 如果有数量不足的份
            r += 1
        ans += nums[l] + nums[r]
        l += 1
        r += 1
        
    return ans

时间复杂度

排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$。计算 ans 的时间复杂度为 $O(k)$。因此总时间复杂度为 $O(n\log n+k)$。