计算子数组的总和严格大于其余元素的总和

本篇文章主要介绍如何在一个数组中，找到所有的子数组，使得子数组的总和严格大于其余元素的总和。

算法

一个显而易见的方案是暴力枚举所有子数组，然后计算子数组总和和其余元素的总和，时间复杂度为$O(n^3)$。但是，我们可以利用一个非常有用的技巧来优化算法的时间复杂度，这个技巧称为前缀和。

前缀和其实就是把数组中的前缀（从头开始的若干项）的和保存下来。这样当我们需要计算某个区间的和时，可以通过前缀和快速计算，时间复杂度为$O(1)$。

我们可以先计算出数组$A$的前缀和数组$prefixSum$，然后对于每个子数组$A[i\cdots j]$，它的和可以通过$prefixSum[j]-prefixSum[i-1]$来快速计算。这样算法的时间复杂度可以优化到$O(n^2)$。

最后，我们只需要把所有子数组的和和其余元素的和作比较即可。

代码

下面是基于前缀和实现子数组的查找过程的代码：

def find_subarrays(arr):
    n = len(arr)
    prefix_sum = [0] * n
    prefix_sum[0] = arr[0]
    
    # calculate prefix sum array
    for i in range(1, n):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + arr[i]
    
    subarrays = []
    
    # enumerate all subarrays
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            sub_array = arr[i:j+1]
            sub_sum = prefix_sum[j] - prefix_sum[i-1]
            other_sum = prefix_sum[-1] - sub_sum
            
            if sub_sum > other_sum:
                subarrays.append(sub_array)
                
    return subarrays

总结

本篇文章介绍了如何寻找数组中所有的子数组，使得子数组的总和严格大于其余元素的总和。利用前缀和和枚举所有子数组的方式，本算法的时间复杂度可以优化到$O(n^2)$。

同时，这个算法也是一个非常经典的算法，对于寻找满足某个条件的子数组的问题，常常可以采取枚举子数组的方法，结合前缀和等技巧进行优化。