题目描述

给定一个非负整数数组 A，和一个整数 K，需要找到要删除的最小子数组的长度，以使其余元素的总和可被 K 整除。

示例

输入：

A = [5, 6, 7, 8, 9]
K = 6

输出：

3

解释： 删除 [5,6] 或者 [7,8] 或者 [8,9] 都可以使剩余元素的和能够被6整除。

解题思路

首先，将数组 A 中所有元素求和得到 total，则可知若 total % K == 0，则不需要删除任何数字，直接返回 0 即可；否则，需要将一些元素删除，以使得剩余元素的和能被 K 整除。

现在问题转化为，如何求出要删除的最小子数组的长度。

想要使剩余元素的和能被 K 整除，就需要将总和中一些不合法的子集（即不能被 K 整除的子集）删除。假设有两个合法的子数组：

$$ sum[i] = \sum_{k=0}^{i} A[k] \qquad sum[j] = \sum_{k=0}^{j} A[k] $$

如果这两个子数组的差可以被 K 整除，则说明从 sum[i] 到 sum[j](不包括 sum[j]) 之间的所有元素的和都可以被 K 整除。即：

$$ (sum[j] - sum[i]) \bmod K = 0 $$

$$ sum[j] \bmod K = sum[i] \bmod K $$

因此，我们只需要保存每个前缀和的模 K 的余数最早出现的位置即可，这样每次新出现的位置减去最早出现的位置，就能得到一个新的合法子数组，而且在所有的合法子数组中，我们要删除的数组长度一定是最小的。

时间复杂度为 $O(N)$。

代码实现

def minSubarray(nums: List[int], k: int) -> int:
    # 数组前缀和
    prefix_sum = [0] * (len(nums) + 1)
    for i in range(len(nums)):
        prefix_sum[i + 1] = prefix_sum[i] + nums[i]
    # 模 K 的余数 -> 前缀和数组下标
    mod_dict = {0: 0}
    ans = float('inf')
    for i, prefix_sum_i in enumerate(prefix_sum):
        mod_i = prefix_sum_i % k
        mod_dict.setdefault(mod_i, i)
        # 如果 mod_dict 中已有 mod_i，说明当前状态为 s1，之前出现的状态为 s2，则 s1-s2 即为一个合法子数组
        mod_j = (mod_i - k) % k
        j = mod_dict.get(mod_j)
        if j is not None:
            ans = min(ans, i - j)
    return ans if ans < len(nums) else -1