内切圆的正方形内切六边形的面积

本题探讨内切圆的正方形内切六边形的面积计算方法。

前置知识

了解以下概念：

• 正方形
• 六边形
• 内切圆
• 面积公式：正方形面积、六边形面积、圆面积

题目描述

给定内切圆的正方形的边长 $a$，求内切六边形的面积。

解法

步骤一：求内切圆的半径

由正方形的对角线可知，内切圆的直径等于正方形的对角线长度。设对角线长度为 $d$，则内切圆的半径 $r=\frac{d}{2}$。

步骤二：求六边形的边长

以内切六边形为例，将其划分为 $6$ 个小等腰三角形。由小等腰三角形可得：

$$\begin{aligned} \frac{a}{2}&=r\sin\frac{\pi}{6}\ a&=2r\sin\frac{\pi}{6}\ &=r\sqrt{3} \end{aligned}$$

因此内切六边形的边长 $b=a\sqrt{3}=r\cdot3$。

步骤三：求内切六边形的面积

内切六边形可以理解成由 $6$ 个边长为 $b$ 的等边三角形拼接而成，因此面积为：

$$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2=\frac{27}{2}r^2$$

代码实现

此部分内容不适合程序员实现。