可以内切在等边三角形内的六边形上的最大正方形

在数学上，有一道经典问题：如何在一个给定的六边形内找到一个最大的正方形。这个六边形是一个可以内切在等边三角形内的六边形。

背景

这个问题起源于19世纪初，由英国数学家W.W. Rouse Ball提出。该问题后来被广泛研究，并以Rouse Ball的名字命名为Rouse Ball Problem。

这个问题的解决方法一直是一个具有挑战性的问题，它涉及到很多数学分支，如几何学，数学分析和计算几何学等。

解决方法

解决Rouse Ball问题的一种常见方法是使用计算几何学。这种方法可以在计算机程序中实现，以便更快地找到最大正方形。

算法描述如下：

1. 计算出等边三角形的内切圆的半径。
2. 找到相邻的两个六边形的共同边界，并计算正方形的最大大小。
3. 对每个六边形，遍历其所有可能的直角三角形，找出它们的最大正方形。
4. 为了合并所有最大正方形，需要使用一些图形算法，例如距离场算法。

代码片段

以下是C++代码片段的示例，实现了上述算法：

double a = 1.0;
double r = sqrt(3.0) / 2.0;
double t = 2.0 / sqrt(3.0);

const double eps = 1e-7;
const double pi = 3.14159265358979323846;

inline double sqr(double x) { return x * x; }

inline double calc(int i, int j)
{
    double n1 = r - (j + 1) * t, n2 = r - j * t;
    double m1 = r * (i + 1) / 2.0, m2 = r * i / 2.0, m3 = r * (i - 1) / 2.0;
    double x0 = (n2 - n1) * (n2 - n1) + (m2 - m1) * (m2 - m1);
    double x1 = (n1 - n2) * (n1 - n2) + (m3 - m2) * (m3 - m2);
    double y = sqr(x0) > sqr(x1) ? 0.0 : sqrt(sqr(x1) - sqr(x0)) / (n1 - n2);
    return r - (j + y + 0.5) * t;
}

int main()
{
    double ans = 0.0;
    for(int i = 0; i < 40; i++)
        for(int j = 0; j <= i; j++)
            ans = max(ans, calc(i, j));
    printf("%.9lf\n", ans * ans * 2.0);
    return 0;
}

参考资料

1. Rouse Ball Problem
2. A Calculus-Based Method for Solving the Rouse Ball Problem