可内接于等边三角形内的六边形内接的最大正方形

问题描述

给定一个等边三角形，内接一个六边形，求出该六边形内接的最大正方形。其中，六边形的顶点对应于三角形的顶点。输入为等边三角形的边长 $L$。

解决方案

思路

我们可以先将等边三角形边长设为 $L=1$，然后考虑如何在这个等边三角形内构造一个六边形，使得其能够内接一个正方形。

根据勾股定理，我们可以得出在一个 $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ 的三角形中，长边的长度等于短边的 $\sqrt{3}$ 倍。

因此，我们可以将等边三角形划分为 $3$ 个 $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ 三角形，其中长边的长度为 $L/2$。

接着，我们在每个 $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ 三角形中分别连一条长为 $L/2$ 的线段，这样我们就可以构造出一个六边形。此时，六边形的内径等于 $L/2$。

我们将该六边形分为 $6$ 个等边三角形，每个三角形的内径为 $L/6$。

在六边形的每个顶点处，我们可以构造一个正方形，其边长为 $L/6$，使得该正方形与六边形相切。

此时，我们可以得到六个边长为 $L/6$ 的正方形，将它们组成一个大正方形，就得到了内接于六边形中的最大正方形。

代码实现

def find_largest_square(L: int) -> float:
    """
    在可内接于等边三角形内的六边形中找到最大正方形的边长。
    """
    l_hexagon = L / 2  # 六边形内径
    l_square = L / 6  # 正方形边长
    l_diagonal = l_square * math.sqrt(2)  # 正方形对角线长度
    l_max = l_diagonal / math.sqrt(2) * 2  # 最大正方形边长
    return l_max

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(1)$，空间复杂度为 $O(1)$。

总结

本题解介绍了如何在一个等边三角形内构造一个六边形，以及如何在该六边形内找到最大的正方形。该算法的时间复杂度为 $O(1)$，空间复杂度为 $O(1)$。