K-ary堆

K-ary堆是一种树形数据结构，它是一种特殊的堆。K-ary堆的每个节点最多有i个子节点。简单来说，K-ary堆是将一棵完全二叉树变为K叉树的堆。

实现

数据结构

我们可以用数组来实现K-ary堆，也可以用链表。在这里我们使用数组来实现。

class K_ary_heap:
    def __init__(self, k):
        self.arr = []
        self.k = k

    def insert(self, val):
        self.arr.append(val)
        self.heapify_up(len(self.arr) - 1)

    def pop(self):
        if len(self.arr) == 0:
            return None
        if len(self.arr) == 1:
            return self.arr.pop()
        root = self.arr[0]
        self.arr[0] = self.arr.pop()
        self.heapify_down(0)
        return root

    def heapify_up(self, idx):
        parent_idx = (idx - 1) // self.k
        if parent_idx >= 0 and self.arr[idx] < self.arr[parent_idx]:
            self.arr[idx], self.arr[parent_idx] = self.arr[parent_idx], self.arr[idx]
            self.heapify_up(parent_idx)

    def heapify_down(self, idx):
        smallest = idx
        for i in range(1, self.k+1):
            child_idx = idx * self.k + i
            if child_idx < len(self.arr) and self.arr[child_idx] < self.arr[smallest]:
                smallest = child_idx
        if smallest != idx:
            self.arr[smallest], self.arr[idx] = self.arr[idx], self.arr[smallest]
            self.heapify_down(smallest)

时间复杂度

K-ary堆的时间复杂度如下：

| 操作 | 最坏时间复杂度 | | ---- | ---- | | 插入 | O(log_k n) | | 删除 | O(log_k n) | | 查找 | O(n) |

空间复杂度

K-ary堆的空间复杂度为O(n)，其中n为堆的大小。

总结

K-ary堆是一种实现堆的方法，它比二叉堆更有效。K-ary堆的插入和删除时间复杂度为O(log_k n)。K-ary堆的空间复杂度为O(n)。