求最小 K 值使得每个大小为 K 的子字符串都具有给定的字符

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $S$ 和一个字符集 $C$，求一个最小的正整数 $K$，使得字符集 $C$ 中的每个字符在字符串 $S$ 的所有长度为 $K$ 的子串中至少出现一次。

解法

首先，需要明确题目中的字符串 $S$ 是由什么字符集构成的。如果 $S$ 中的字符集大小大于 $C$ 中的字符集大小，那么一定不存在满足要求的 $K$ 值，因为对于 $C$ 中的每个字符都不能保证一定出现在长度为 $K$ 的子串中。

我们可以从小到大枚举 $K$ 值，对于每个 $K$ 值，将字符串 $S$ 分割成长度为 $K$ 的若干个子串。然后检查每个子串是否包含 $C$ 中的所有字符。如果存在一个子串没有包含 $C$ 中的某个字符，那么就可以判定此 $K$ 值不合法，继续枚举下一个 $K$ 值。如果检查所有的子串都包含了 $C$ 中的所有字符，在此情况下 $K$ 值就是合法的最小值。

下面是使用 Python3 实现的求解代码：

def min_k(s: str, c: set) -> int:
    n = len(s)
    m = len(c)
    if m > n:
        return -1
    for k in range(1, n + 1):
        ok = True
        for i in range(0, n, k):
            t = set(s[i:i + k])
            if not c.issubset(t):
                ok = False
                break
        if ok:
            return k
    return -1

性能分析

假设字符串 $S$ 长度为 $n$，字符集 $C$ 长度为 $m$。正确判断合法的 $K$ 值的最坏时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$，即在所有长度不超过 $n$ 的子串中查找 $C$ 中所有字符的最小值。对于较大的 $n$，这种暴力算法并不十分高效，有不少可以针对特殊情况进行优化的地方。

总结

本题将字符串分割成长度为 $K$ 的若干个子串，这种处理方法在字符串相关的题目中还会经常出现。对于这种问题，需要特别注意边界情况和时间复杂度。