最长递增奇偶子序列介绍

最长递增奇偶子序列是指在一个序列中选取一些数字，使得它们构成的子序列既是递增的，又满足相邻两项的奇偶性不同，并且该子序列的长度最长。本文将介绍最长递增奇偶子序列的定义、相关算法以及应用场景。

定义

假设有一个长度为 $n$ 的序列 $a$，则最长递增奇偶子序列的定义如下：

• 选择一些数字组成新的序列 $b$，满足 $b$ 中的数字在 $a$ 中出现，并且 $b$ 中的数字满足严格递增。
• 对于 $b$ 中的相邻两项 $b_i$ 和 $b_{i+1}$，它们的奇偶性不同，即 $\operatorname{mod}(b_i, 2) \not= \operatorname{mod}(b_{i+1}, 2)$。
• 所选的数字尽可能多，即 $b$ 的长度是所有满足上述两个条件的序列中最长的一个。

算法

最长递增奇偶子序列有多种算法，这里介绍其中两种。

动态规划

我们可以考虑将问题转化为最长递增子序列问题。具体来说，我们设状态 $dp_i$ 表示以 $a_i$ 结尾的最长递增奇偶子序列的长度。状态转移方程如下：

$$ dp_i = \max_{j < i, \operatorname{mod}(a_j, 2) \not= \operatorname{mod}(a_i, 2)} {dp_j + 1} $$

其中，$\max$ 表示对所有满足条件的 $j$ 取最大值。最终的答案即为状态数组 $dp$ 中的最大值。

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，可以通过一些优化降低到 $O(n\log n)$。

贪心算法

考虑一个贪心的思路：我们可以将奇数和偶数分别看成两个序列，然后分别对它们进行最长递增子序列的求解，最后将两个子序列拼接起来。这种方法的正确性可以通过数学归纳法证明。

该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

应用

最长递增奇偶子序列可以用于解决一些具体的问题。例如，考虑一个序列 $a$，其中每个数字 $a_i$ 表示第 $i$ 天的股票价格。你想在这个序列中选择一些数字，使得它们的价格先递增后递减，并且任意相邻两项的奇偶性不同。你的目标是最大化选出的数字的个数。这个问题可以转化为最长递增奇偶子序列的求解。

总结

最长递增奇偶子序列是一个优美、有趣的问题，它的解法也具有一定的技巧性。掌握该问题有助于提高算法思维和开发能力。