使用关键凝聚法计算矩阵的行列式

介绍

关键凝聚法是计算矩阵行列式的一种方法。它通过对矩阵进行分块来简化计算过程。在计算过程中，我们会将矩阵分成更小的矩阵，并计算它们的行列式。最终，我们会得出矩阵的行列式。

算法

下面是关键凝聚法的算法：

1. 将矩阵分成 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 四个部分，其中 $A$ 是 $m_1$ 行 $n_1$ 列的矩阵，$B$ 是 $m_1$ 行 $(n - n_1)$ 列的矩阵，$C$ 是 $(m - m_1)$ 行 $n_1$ 列的矩阵，$D$ 是 $(m - m_1)$ 行 $(n - n_1)$ 列的矩阵。也就是说：

$$ \begin{bmatrix} A & B \ C & D \ \end{bmatrix} $$

2. 如果 $m_1 = n_1 = 1$，那么矩阵的行列式等于 $ad - bc$。其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 分别是 $A$ 矩阵中的元素。即

$$ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \ \end{vmatrix} = ad - bc $$

3. 如果 $m_1 \neq n_1$，那么我们需要递归地计算子矩阵的行列式。也就是说，我们需要计算 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 的行列式。具体来说，我们会使用相同的方法再次分块 $A$、$B$、$C$ 和 $D$，并递归地计算子矩阵的行列式。最终，我们会得到四个数 $d_1$、$d_2$、$d_3$ 和 $d_4$，它们分别是 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 的行列式。那么，矩阵的行列式等于下面的式子：

$$ \begin{vmatrix} A & B \ C & D \ \end{vmatrix} = d_1d_4 - d_2d_3 $$

代码示例

以下是使用 Python 实现关键凝聚法计算矩阵的行列式的代码示例：

def determinant(matrix):
    n = len(matrix)
    if n == 1:
        return matrix[0][0]
    elif n == 2:
        return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0]
    else:
        m = n // 2
        # 将矩阵分块成四个子矩阵
        A = [matrix[i][:m] for i in range(m)]
        B = [matrix[i][m:] for i in range(m)]
        C = [matrix[i][:m] for i in range(m, n)]
        D = [matrix[i][m:] for i in range(m, n)]
        # 递归地计算子矩阵的行列式
        d1 = determinant(A)
        d2 = determinant(B)
        d3 = determinant(C)
        d4 = determinant(D)
        # 计算矩阵的行列式
        return d1 * d4 - d2 * d3

matrix = [[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]
print(determinant(matrix))

代码中的 determinant 函数接受一个矩阵作为输入，并返回该矩阵的行列式。如果矩阵的大小为 $1 \times 1$，那么行列式等于矩阵中的唯一元素。如果矩阵的大小为 $2 \times 2$，那么行列式等于 $ad - bc$，其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 分别是矩阵中的元素。否则，我们将矩阵分块成四个子矩阵，并对它们递归地计算行列式。最后，我们计算矩阵的行列式，并将其返回。