矩阵和行列式的应用

矩阵和行列式的一种应用是，它可以用于求解两个或三个变量中的线性方程。矩阵和行列式还用于检查任何系统的一致性，无论它们是否一致。

使用矩阵逆解线性方程组

线性方程组的解可以使用矩阵的逆来求出。让等式为：

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z = d ₁

a ₂ x r + b ₂ y + c ₂ z = d ₂

a ₃ x + b ₃ y + c ₃ z = d ₃

这些方程可以使用矩阵表示如下

$\begin{bmatrix} a_{1}x +b_{1}y+c_{1}z\\ a_{2}x +b_{2}y+c_{2}z \\ a_{3}x +b_{3}y+c_{3}z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3} \end{bmatrix}$

此外，这可以写成

$\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2}& b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} d_{1} \\ d_{2}\\ d_{3} \end{bmatrix}$

此外，该系统可以写成

轴= B

其中矩阵A包含未知变量的系数。

A = $\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2}& b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix}$

矩阵X是包含未知变量的列矩阵。

X = $\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}$

矩阵B也是一个列矩阵，它包含常量。

B = $\begin{bmatrix} d_{1} \\ d_{2}\\ d_{3} \end{bmatrix}$

因此，如上所述，线性方程组可以转换为矩阵形式，可以写成：

轴= B

如果A是非奇异矩阵，则存在^{A -1。}

两边都乘以A ^-1

A ^-1轴= A ^-1 B

IX = A ^-1 B

X = A ^-1 B

这为未知变量提供了唯一的解决方案。该解决方案将是唯一的，因为任何非奇异矩阵都具有唯一的逆。

如果A是一个奇异矩阵，则A ^-1不存在。在这种情况下| A | = 0，因此您将不得不计算(adj A)B。

1.如果(adj A)B≠O，则线性方程组不存在任何东西，并且该系统将不一致。

2.如果(adj A)B = O，则线性方程组将具有零解或无穷多个解，这就是为什么该系统在没有任何解的情况下可能会不一致，或者在无穷多个时可能会保持一致的原因解决方案。

系统一致性

根据方程组拥有的解决方案数量，称其为一致或不一致。

• 一致的系统：如果方程组具有解，则称其为一致的。
• 不一致的系统：如果方程组不具有解决方案，则称其为不一致的。

样本问题

问题1.使用矩阵求解以下线性方程

2x + y = 3

2x + 3y = 6

解决方案：

The above system of linear equations can be written in the form of AX = B where A is the matrix of coefficients, X is the matrix of unknown variables and B is the matrix of constants.

A = $\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 2 &3 \end{bmatrix}$

X = $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

B = $\begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$

First find out the |A|

as you can see |A| = 4 ≠ 0. Hence, the system of equations is consistent and will possess an unique solution and the solution can be found out using X = A^-1B

$A^{-1} = \frac{adj A}{|A|}$

A^-1 = $\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ -2 &2 \end{bmatrix}$

X = A^-1B

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ = $\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ -2 &2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ = $\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 9-6 \\ -6+12 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ = $\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$

From here, you can conclude that

x = 3/4

and y = 6/4

问题2。说给定系统是否一致

x + 3y = 5

2x + 6y = 8

解决方案：

The above system of equations can be written in the form of AX = B, where

A = $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix}$

X = $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

B = $\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

Now check determinant of A

|A| = 6 – 6 = 0g

For checking consistency of the system, you have to check (adj A)B

adj A = $\begin{bmatrix} 6 & -3\\ -2 & 1 \end{bmatrix}$

(adj A)B = $\begin{bmatrix} 6 & -3\\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

(adj A)B = $\begin{bmatrix} 30-24 \\ -10+8 \end{bmatrix}$

(adj A)B = $\begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix}$

Since (adj A)B ≠ 0, the solution of the given system of linear equations doesn’t exist. Hence, the system of equations is inconsistent.

问题3：使用矩阵法求解线性方程组

x – y + 2z = 7

3x + 4y – 5z = -5

2x – y + 3z = 12

解决方案：

The above system of equations can be written in the form of AX = B, where

A = $\begin{bmatrix} 1 & -1 &2 \\ 3& 4 &-5 \\ 2& -1 & 3 \end{bmatrix}$

X = $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

B = $\begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix}$

Now check determinant of A

|A| = 1 * (12 – 5) + 1 * (9 + 10) + 2 * (-3 – 8)

|A| = 7 + 19 – 22 = 4

|A| ≠ 0

Hence, its inverse exists and hence there exists a unique solution that can be found out by X = A^-1B

$A^{-1} = \frac{adj A}{|A|}$

A^-1 = $\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 7 & 1 &-3 \\ -19& -1 &11\\ -11& -1 & 7 \end{bmatrix}$

X = A^-1B

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ = $\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 7 & 1 &-3 \\ -19& -1 &11\\ -11& -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ = $\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 49-5-36 \\ -133+5+132 \\ -77+5+84 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ = $\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ 12 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

From here, you can see that x =2, y = 1, and z = 3.

Hence, x = 2, y = 1, and z = 3.