矩阵行列式的性质

矩阵行列式是一个非常重要的概念，它是线性代数中的一个基本概念。矩阵行列式可以用来判断矩阵是否可逆，可以用来计算矩阵的秩等等。在进行计算时，掌握矩阵行列式的性质是很有必要的。

定义

设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，它的元素是 $a_{ij}(i,j=1,2,\dots,n)$，那么 $A$ 的行列式记作 $|A|$。它的计算公式如下：

$$|A|= \sum_{j_1,j_2,\dots,j_n=1}^n(-1)^{t(j_1,j_2,\dots,j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}$$

其中 $t(j_1,j_2,\dots,j_n)$ 表示 $1$ 到 $n$ 的置换 $(j_1,j_2,\dots,j_n)$ 的逆序数。

性质

1. 行互换，列互换：将矩阵 $A$ 的两行或两列互换，行列式的值不变。

2. 以倍数加一行（列）的多少倍到另一行（列）上，行列式的值不变。

   比如将 A 的第一列的 3 倍加到第二列上得到矩阵 B，那么|A|=|B|
   

3. 行列式按第 $i$ 行展开式等于第 $i$ 行上每个元素与它的代数余子式的乘积之和。

   如下式：|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}
   其中 A_{ij} 表示 A 的第 i 行、第 j 列去掉后剩下的矩阵的行列式。
   

4. 矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式。

   即 |A|=|A^T|
   

5. 如果矩阵 $A$ 的某一行（列）的元素全部为 $0$，则 $|A|=0$。

6. 如果矩阵 $A$ 有两行（列）成比例，则 $|A|=0$。

7. 如果矩阵 $A$ 的某一行（列）的元素可以表示成 $k$ 和 $l$ 的线性组合，则 $|A|=0$。

8. 如果矩阵 $A$ 是一个上（下）三角矩阵，则 $|A|$ 等于其对角线上元素的乘积。

9. 如果矩阵 $A$ 是一个对角矩阵，则 $|A|$ 等于其对角线上元素的乘积。

总结

以上是矩阵行列式的一些基本性质。掌握这些性质可以帮助我们更好地理解矩阵行列式的计算方法，也可以更好地应用到实际问题中。在程序设计中，我们可以使用这些性质来简化算法实现，提高计算效率。