对设置位等于K的数组元素进行排序

简介

在一维数组中，如果某个元素的二进制表示的第K位为1，则认为这个元素“设置”了该位。现在需要对数组中所有“设置”了第K位的元素进行排序。

思路

排序算法可以采用任何一种合适的排序方法，这里以快速排序为例，时间复杂度为O(nlogn)。

步骤如下：

1. 选一个基准数作为枢轴（pivot）。
2. 将枢轴放到数组最右边。
3. 定义左右指针i,j，初始时i=j=left，left为排序区间的左端点。
4. 以枢轴为基准，从左往右遍历数组，将元素小于等于枢轴的交换至左侧区间，并将左指针i向右移动。
5. 再从右往左遍历数组，将元素大于枢轴的交换至右侧区间，并将右指针j向左移动。
6. 重复4-5步骤，直到i >= j，结束一轮循环。
7. 将枢轴移回它本来的位置，执行左右两个子区间的快速排序。
8. 重复1-7步骤，直到排序完成。

在遍历时，只需要判断二进制表示的第K位是否为1即可。

代码示例

def quick_sort(arr: list, left: int, right: int, k: int):
    def partition(arr: list, left: int, right: int, k: int) -> int:
        pivot = arr[right]
        i = j = left
        for j in range(left, right):
            if ((arr[j] >> k) & 1) <= ((pivot >> k) & 1):
                arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
                i += 1
        arr[i], arr[right] = arr[right], arr[i]
        return i
    
    if left < right:
        pivot_index = partition(arr, left, right, k)
        quick_sort(arr, left, pivot_index-1, k)
        quick_sort(arr, pivot_index+1, right, k)

arr = [5, 3, 1, 7, 4, 8, 2, 6]
k = 2   # 按第二位排序
quick_sort(arr, 0, len(arr)-1, k)
print(arr)

代码中，快速排序的partition函数实现了数组的一次划分操作。在每次划分前，将枢轴放到数组最右边，并在遍历时只对第K位为1的元素进行交换。

性能分析

排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(logn)。

代码的时间复杂度主要取决于排序算法的性能，此处采用快速排序排除掉一半元素，可以较快地完成排序，但如果数组中的大部分元素都设置了第K位，则无法发挥优势，排序的时间复杂度会降至O(n^2)。