检查数组是否可以从给定的子序列集唯一构造

在本文中，我们将讨论一个算法问题，即如何检查一个数组是否可以从给定的子序列集唯一构造。本问题可以用来判断一个数字序列是否可以从多个子序列唯一构造而成，可以应用于基因序列匹配、序列比对等领域。

问题描述

给定一个由正整数构成的数组 nums 以及一个由 nums 的不同的子序列构成的数组(subSeqs)。请编写一个 Python 函数，以检查数组 nums 是否可以从给定的 subSeqs 唯一构造而成，即对于任意一个下标 i，nums 中第 i 个元素只能被唯一的一个 subSeqs 元素所包含。

函数签名如下：

def is_unique_array(nums: List[int], subSeqs: List[List[int]]) -> bool:
    pass

示例

输入:

nums = [1,2,3,4]
subSeqs = [[1,2],[1,3],[2,3],[4,1,2],[4,1,3],[4,2,3]]

输出:

True

解释:

可以从 subSeqs 中选择 [1,2]、[2,3] 和 [4,1,3]，构成 nums。

解法

算法思路

该问题可以使用拓扑排序解决。我们首先需要建立一个元素与其可包含它的所有子序列之间的映射关系。我们可以通过考虑每个子序列的最后一个元素来获取这个映射。

在建立映射关系后，我们可以初始化数组 isUnique，将其中所有的元素设为 0。接着，对于每个子序列，我们可以将 isUnique 中与该子序列中最后一个元素对应的值设为 1。因为如果一个元素可以被多个子序列所包含，那么该元素对应的 isUnique 值一定大于 1。

最后，对于数组 nums 中的每个元素，我们只需要判断其是否对应于某个子序列中的最后一个元素，并且该子序列对应的 isUnique 值是否为 1 即可。如果出现任何一个元素不能满足这个条件，那么我们就可以返回 False。

代码实现

from typing import List

def is_unique_array(nums: List[int], subSeqs: List[List[int]]) -> bool:
    # 将 subSeqs 中的所有子序列的最后一个元素与其映射到一个字典中
    contained_by = {}
    for subSeq in subSeqs:
        contained_by[subSeq[-1]] = subSeq
     
    # 初始化 isUnique 数组
    n = len(nums)
    isUnique = [0] * n
     
    # 遍历 subSeqs，将 isUnique 中与子序列中最后一个元素对应的值设置为 1
    for subSeq in subSeqs:
        idx = n - 1
        for i in range(len(subSeq)-2, -1, -1):
            while idx >= 0 and nums[idx] != subSeq[i]:
                idx -= 1
            if idx == -1:
                return False
            idx -= 1
        isUnique[idx+1] += 1
     
    # 遍历 nums，检查其是否可以被唯一的一个元素所包含
    for i in range(n):
        if nums[i] not in contained_by:
            return False
        if isUnique[i] != 1:
            return False
     
    return True

时间复杂度

假设 nums 中元素个数为 n，subSeqs 中所有子序列的总长度为 m，则算法的时间复杂度为 O(mn)。