使用给定的 LCM 构造最长可能的唯一元素序列

问题描述

给定一个正整数 LCM，求构造一个最长的正整数序列，满足这个序列的所有元素的 LCM 都等于给定的 LCM，且这个序列中的每个元素都是唯一的。

解决方案

首先，我们可以考虑 LCM 的性质，即 LCM(a,b)GCD(a,b)=ab。因此，如果我们将给定的 LCM 表示为 LCM(x1,x2,...,xn)，那么一定存在一组正整数 y1,y2,...,yn，使得对于任意的 i∈[1,n]，有 yi|xi，且它们的 LCM 为给定的 LCM。这样，我们就将序列中的每个元素分解为了 yi*zi，其中 yi|xi，zi 互质。

接下来，我们考虑如何构造序列。我们可以将 yi 从小到大枚举，对于每个 yi，从大到小枚举所有的 zj，如果此时 yi* zj 未出现在序列中，则加入这个元素。这样，我们就可以构造出一个满足条件的序列。

为了证明这个构造方法的正确性，我们可以考虑贪心策略。对于每个 yi，我们要尽量使用大的 zj，这样才能构造出尽可能长的序列。而如果存在 yi* zj 和 yi* zk 都未出现在序列中，那么我们应该先将 yi* zk 加入序列，这样可以保证序列长度最大。

代码实现

下面是使用 Python 实现的代码：

def construct_sequence(lcm):
    factors = factorize(lcm)
    factors.sort()
    sequence = [factors[0]]

    for factor in factors[1:]:
        for i in range(len(sequence)-1, -1, -1):
            if factor % sequence[i] == 0:
                break
            if i == 0:
                sequence.insert(0, factor)
        sequence.append(factor)

    return sequence

def factorize(n):
    factors = []
    i = 2
    while i*i <= n:
        if n % i == 0:
            factors.append(i)
            n //= i
        else:
            i += 1
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors

上面的代码中， factorize 函数用于分解给定的 LCM，而 construct_sequence 函数用于构造序列。具体的实现细节可以参见注释。