使用给定的 LCM 最小化 K 个正整数的总和

当需要对一组正整数进行某种操作时，如果我们要使得这个操作的结果最小化或最优化，我们可能需要进行一些数学分析来找到最佳解决方案。这里我们来看一个问题：如何使用给定的 LCM（最小公倍数）来最小化给定的 K 个正整数的总和。

问题描述

给定一个正整数 N 和 K，以及一个正整数数组 A 包含 K 个元素。我们需要从 1 到 N 中选择 K 个正整数，使得它们的 LCM 等于给定的值 lcm，并且它们的总和最小。

解决方案

我们可以考虑对给定的正整数数组 A 进行排序，然后依次从 1 到 N 中选择 K 个数作为候选集合。对于每个候选集合，我们可以用两个方法来计算它们的总和，然后比较它们的大小并更新最小值：

1. 计算候选集合的 LCM，如果 LCM 等于给定的值 lcm，则计算候选集合的总和，如果这个总和小于当前最小值，则更新最小值。
2. 如果候选集合的 LCM 不等于给定的值 lcm，则计算 LCM 的倍数中最小的那个数 x，并将 x 加入候选集合中。这里我们可以使用 LCM（a,b）= a*b / GCD(a,b) 来计算两个数的 LCM，其中 GCD 表示最大公约数。如果当前最小值不变，则说明不存在满足条件的 K 个正整数。

代码实现

import math

def calculate_sum(n, k, a, lcm):
    a.sort()
    min_sum = math.inf
    for i in range(1, n+1):
        candidate_set = [i]
        if len(candidate_set) == k:
            candidate_lcm = calculate_lcm(candidate_set)
            if candidate_lcm == lcm:
                candidate_sum = sum(candidate_set)
                if candidate_sum < min_sum:
                    min_sum = candidate_sum
            if candidate_lcm < lcm:
                x = lcm // candidate_lcm
                for j in range(len(a)):
                    if a[j] >= x:
                        break
                    candidate_set.append(a[j])
                    if len(candidate_set) == k:
                        candidate_lcm = calculate_lcm(candidate_set)
                        if candidate_lcm == lcm:
                            candidate_sum = sum(candidate_set)
                            if candidate_sum < min_sum:
                                min_sum = candidate_sum
                            break
                    if len(candidate_set) + len(a) - j - 1 < k:
                        break
    if min_sum == math.inf:
        return -1
    else:
        return min_sum

def calculate_lcm(a):
    lcm = a[0]
    for i in range(1, len(a)):
        lcm = lcm * a[i] // math.gcd(lcm, a[i])
    return lcm