在给定的 LCM 下最小化 K 个正整数的总和

背景

在进行某些计算时，我们需要将给定的 $K$ 个正整数的最小公倍数（LCM）限制在一个特定的值下。但我们又需要让这 $K$ 个数的总和最小。这样的问题在数学和计算机科学中都有应用。

问题描述

给定 $K$ 和$L$，找到 $K$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_K$，使得它们的 LCM 等于 $L$，且它们的总和 $S=a_1+a_2+\cdots+a_K$ 最小。

解决方案

思路

对于此类问题，我们可以使用贪心算法求解。假设 $a_1, a_2, \cdots, a_K$ 是最优解，且 $a_1 < a_2 < \cdots < a_K$。考虑将 $a_1$ 替换为 $x$，满足 $\gcd(x, a_i) = 1$ 对所有 $i \geq 2$ 成立。因为将一个数替换为比它更小的数，不会减少它们的 LCM，所以只需要对 $a_1$ 进行替换。

对于 $x$ 的选择，需要满足以下条件：

• $x$ 是 $L$ 的约数；
• $x$ 小于等于 $\sqrt{L}$；
• $x$ 能使得 $a_2, \cdots, a_K$ 的和最小。

可以证明，在上述条件下，选择 $x$ 进行替换后，$a_2, \cdots, a_K$ 的和是不会变得更小的，因此此时的 $a_1$ 就是最优的选择。

算法

根据上述思路，可以得到以下贪心算法的实现：

def minimize_sum(K, L):
    p = prime_factors(L)

    a = [p[0]]
    s = p[0]
    mul = p[0]
    for i in range(1, len(p)):
        if p[i] > math.sqrt(L):
            a.append(p[i])
            s += p[i]
            mul *= p[i]
            if len(a) == K:
                break
        elif mul * p[i] <= L:
            mul *= p[i]
        else:
            x = find_largest_divisor(L, mul)
            s -= a[0] - x
            a[0] = x
            mul = get_mul(a)
            if len(a) < K:
                s += p[i]
                a.append(p[i])
                mul *= p[i]
            else:
                break

    return s

其中，prime_factors 函数用于获取 $L$ 的所有质因子，find_largest_divisor 函数用于寻找 $L$ 的最大约数 $x$，满足 $x$ 是 $\gcd(x, a_i) = 1$ 对所有 $i \geq 2$ 成立。get_mul 函数用于计算 $a_1, a_2, \cdots, a_K$ 的 LCM。

复杂度

根据算法的实现，可以发现时间复杂度是 $O(K \log L)$，其中 $K$ 是给定的正整数个数，$L$ 是 LCM。在实际使用中，可能需要对算法进行进一步的优化，以提高效率。

总结

在给定的 LCM 下最小化 $K$ 个正整数的总和是一类比较常见的问题。本文介绍了一种使用贪心算法解决此类问题的方法。该算法的时间复杂度比较优秀，但在实际使用中，也需要注意一些约束条件，以保证算法的正确性和效率。