使用段树求解最长递增子序列 (LIS) 的长度

最长递增子序列 (Longest Increasing Subsequence, LIS) 的问题是指，在一个给定的序列中，找到一个最长的子序列使得其中的元素是单调递增的。解决这个问题有多种算法，其中使用动态规划算法可以在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内完成求解。而使用线段树优化的算法则能将时间复杂度降低至 $O(nlogn)$。

算法原理

我们首先以一个序列 $a$ 为例来进行讲解，设 $f(i)$ 为以 $a[i]$ 为结尾的最长递增子序列（LIS）的长度。那么我们可以通过以下的动态规划转移方程来推导 $f$ 数组：

$$ f(i) = max\left{f(j) + 1 | j < i \land a[j] < a[i]\right} $$

也就是说，我们需要枚举 $a$ 数组中所有位置 $j$，并在其中选取满足 $a[j] < a[i]$ 的值，并取这些值中的最大值与 $f(j)$ 相加得到 $f(i)$ 的值。显然，这是一个 $O(n^2)$ 的算法。

而我们可以通过使用线段树来对动态规划转移方程进行优化。我们可以将 $f$ 作为线段树上的值，并在每次增加一个元素 $a[i]$ 的时候，将 $a[i]$ 压缩值作为线段树索引，寻找线段树中 $a[i]$ 压缩值前的最大值并加一，然后将 $f(i)$ 更新到线段树中。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现使用线段树求解最长递增子序列的代码：

def query(tree, l, r, k, x):
    if l == r:
        return tree[x]
    mid = (l + r) // 2
    if k <= mid:
        return max(tree[x], query(tree, l, mid, k, x * 2))
    else:
        return max(tree[x], query(tree, mid + 1, r, k, x * 2 + 1))


def update(tree, l, r, k, x, v):
    if l == r:
        tree[x] = v
    else:
        mid = (l + r) // 2
        if k <= mid:
            update(tree, l, mid, k, x * 2, v)
        else:
            update(tree, mid + 1, r, k, x * 2 + 1, v)
        tree[x] = max(tree[x * 2], tree[x * 2 + 1])


def lis(n, a):
    tree = [0] * (n * 4)
    ans = 0
    for i in range(n):
        tmp = query(tree, 1, n, a[i], 1) + 1
        ans = max(ans, tmp)
        update(tree, 1, n, a[i], 1, tmp)
    return ans

其中 query 函数用于查询线段树中给定位置的最大值，update 函数用于更新线段树中给定位置的值。 lis 函数则是用于求解 LIS 的函数。