最长共同递增子序列(LCS + LIS)

简介

最长共同递增子序列（Longest Common Increasing Subsequence，简称 LCS + LIS），就是给定两个序列 X 和 Y，求 X 和 Y 共同具有的最长的递增子序列。LCS + LIS 是经典的动态规划问题，多种算法可以解决此问题，例如最长公共子序列（LCS）和最长递增子序列（LIS）等。

算法解析

动态规划

使用动态规划算法可以解决LCS + LIS问题，具体步骤如下：

1. 定义状态：$dp[i][j]$ 表示 X 的前 i 个元素和 Y 的前 j 个元素中，共同具有的最长的递增子序列长度。

2. 状态转移方程：

   当 $X[i] == Y[j]$ 时，$dp[i][j] = max(dp[k][l]) + 1$，其中 $(k, l)$ 是满足 $k<i$ 且 $l<j$ 且 $X[k] < X[i]$ 的所有 $(k, l)$。

   当 $X[i] \neq Y[j]$ 时，$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])$。

3. 初始状态：$dp[0][0] = 0$。

4. 最终结果：$dp[n][m]$，其中 $n$ 和 $m$ 分别是 X 和 Y 的长度。

代码实现

下面是 Python 语言实现 LCS + LIS 算法的伪代码。

def lcs_lis(X, Y):
    n, m = len(X), len(Y)
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                dp[i][j] = max(dp[k][l] for k in range(i) for l in range(j) if X[k] < X[i-1]) + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    
    return dp[n][m]

应用场景

LCS + LIS 问题主要用于求解两个序列之间的相似度，例如 DNA 序列比对、文本比较等。

总结

LCS + LIS 问题是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法进行求解。此问题可以应用于序列的相似度比较，具有广泛的应用场景。