给定数组中所有对的楼层划分总和

对于给定的整数数组，我们可以将其划分成多个子数组，找到每个子数组中所有对的总和。其中，对的定义为数组中左边元素小于右边元素的组合个数。

问题描述

给定一个数组 arr，找到所有子数组中对的总数。对的定义为一个比较符号开口向右，例如 (i,j) 表示元素 arr[i] 比 arr[j] 小。

例如，对于数组 [3, 1, 2]，共有三个子数组：[3]，[1] 和 [2]。其中，只有子数组 [1,2] 有对，因此对的总数为 1。

解决方案

我们可以使用归并排序的思想，在递归过程中统计对的总数。具体来说，假设当前递归的子数组为 arr[l,...,r]，我们可以将其划分成两个子数组 arr[l,...,m] 和 arr[m+1,...,r]，然后分别递归计算这两个子数组中的对的总数。

而对于子数组 arr[l,...,m]，其中对的总数就包含两部分：第一部分是在 arr[l,...,m] 中的对的总数，第二部分是跨越了 m 和 m+1 两个元素的对的总数。其中，前一部分可以使用递归计算，后一部分可以在归并的过程中一并计算。

最终，我们可以将递归计算和归并计算的结果相加，得到整个数组中所有子数组的对的总数。

以下是 Python 代码实现（时间复杂度为 O(nlogn)）：

def count_pairs(arr):
    def merge_sort(arr, l, r):
        if l == r:
            return 0
        m = l + (r - l) // 2
        count = merge_sort(arr, l, m) + merge_sort(arr, m+1, r)
        i, j = l, m+1
        while i <= m and j <= r:
            if arr[i] <= arr[j]:
                count += j - (m+1)
                i += 1
            else:
                j += 1
        arr[l:r+1] = sorted(arr[l:r+1])
        return count
    
    return merge_sort(arr, 0, len(arr)-1)

性能分析

该算法的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 表示数组的长度。分别为归并排序的时间复杂度和计算跨越中点的对的时间复杂度。空间复杂度为 O(n)，主要是在归并过程中需要使用额外的空间。