根据给定查询将数组划分为子数组后的最大子数组总和

在程序设计中，经常需要对数组进行操作，其中之一是将数组划分为多个子数组以进行操作。本篇文章将介绍如何将给定数组划分为子数组，并找到其中的最大子数组总和。

问题描述

给定一个数组 nums 和两个整数 left 和 right，问题需要将数组划分为多个子数组，使得子数组的和在 [left, right] 的范围内，并找到其中的最大和。如果没有这样的子数组，则返回 0。

示例

输入：nums = [2, 1, 3, 4, 5], left = 3, right = 5

输出：7

解释：最大子数组为 [3, 4]，其和为 7，在 [left, right] 的范围内。

解法

本问题可以使用动态规划的方法进行求解。具体来说，可以维护一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个数为结尾的子数组的最大和。

假设已经求出了 dp[0, 1, ..., i - 1]，现在需要求 dp[i]，则：

• 如果 nums[i] 大于 right，则以 nums[i] 为结尾的子数组肯定不在带限制范围内，即 dp[i] = 0；
• 如果 nums[i] 小于 left，则可以将 nums[i] 添加到以 i - 1 结尾的最大子数组中，即 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]；
• 如果 left <= nums[i] <= right，则以 nums[i] 为结尾的最大子数组可以是任意一个 j (0 <= j < i) 到 i - 1 的最大子数组加上 nums[i]，其中该子数组的和在 [left - nums[i], right - nums[i]] 的范围内。因此：

$$ dp[i] = \max_{0 <= j < i, left - nums[i] \leq sum_{j \rightarrow i} \leq right - nums[i]} dp[j] + nums[i] $$

最后，通过遍历 dp 数组，找到最大的符合条件的子数组即可。

代码实现

以下是使用 Python 进行实现的代码，时间复杂度为 $O(n^2)$。

```python
def max_subarray_sum(nums, left, right):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0] if left <= nums[0] <= right else 0
    res = dp[0]
    for i in range(1, n):
        if nums[i] > right:
            dp[i] = 0
        elif nums[i] < left:
            dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]
        else:
            for j in range(i):
                if left - nums[i] <= dp[j] + nums[i] - dp[j] <= right - nums[i]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + nums[i])
        res = max(res, dp[i])

    return res
```