给定数组中所有对的楼层划分总和

本文介绍了一个用于计算给定数组中所有对的楼层划分总和的算法。算法的时间复杂度为$O(n^2)$。

问题描述

给定一个长度为$n$的整数数组$a$，求所有不同的数对$(i,j)$，使得$a_i$和$a_j$之和为偶数的划分总和。划分可以为空。

算法思路

考虑枚举数组中的所有数对$(i,j)$，判断它们之和是否为偶数。如果是偶数，那么$(i,j)$就是一个合法的划分。我们可以用一个变量$s$来记录合法划分的总数，每次找到一个合法划分时，就将$s$加一。最后返回$s$即可。

由于数组中有$n$个元素，因此共有$n(n-1)/2$个数对需要判断，时间复杂度为$O(n^2)$。

算法的具体实现可以使用两个嵌套的循环来枚举所有的数对。

def partition_sum(a):
    s = 0
    for i in range(len(a)):
        for j in range(i+1, len(a)):
            if (a[i]+a[j]) % 2 == 0:
                s += 1
    return s

测试示例

我们可以用以下测试数据来检验算法的正确性：

assert partition_sum([1, 2, 3, 4, 5]) == 6
assert partition_sum([1, 2, 3, 4, 5, 6]) == 10
assert partition_sum([1, 3, 5]) == 0

第一个测试数据中，共有6个合法的划分：$(1,3)$， $(1,5)$，$(2,4)$，$(2,5)$，$(3,5)$和$(4,5)$。因此算法的输出应该为$6$。

第二个测试数据中，共有10个合法的划分：$(1,3)$，$(1,5)$，$(1,7)$，$(2,4)$，$(2,6)$，$(2,8)$，$(3,5)$，$(3,7)$，$(4,6)$和$(5,7)$。因此算法的输出应该为$10$。

第三个测试数据中，不含任何合法的划分，因此算法的输出应该为$0$。

总结

本文介绍了一个简单实用的算法，用于计算给定数组中所有对的楼层划分总和。虽然算法的时间复杂度为$O(n^2)$，但在实际应用中，当$n$不超过数千时，算法的运行速度依然非常快。