构造数组使相同索引元素绝对差最大为1

前言

在计算机科学和数学中，经常需要对一些数列进行各种运算。在有些情况下，我们需要构造一个新的数列，满足特定的条件。本文介绍一种构造数组的方法，使得相同索引元素的绝对差最大为1。

方法

假设给定一个数组 A，其中含有 n 个正整数。我们的目标是构造一个新的数组 B，使得 B 的元素之间的绝对差最大为1，即

$$ |B_i-B_j|\leq 1,\quad \forall;i,j\in[1,n] $$

为了实现这个目标，我们可以采用如下的方法。首先，我们计算出数组 A 的偶乘数组 C，即

$$ C_i=\prod_{j=1}^{i-1}[A_j\bmod 2=0]?A_j:1,\quad1\leq i\leq n $$

在这个数组中，C[i] 表示 A[1]A[2]...*A[i-1] 中所有的偶数的乘积。需要注意的是，如果 A[j] 是奇数，我们将其视为1，因为奇数不可能与其他整数构成奇数和，与我们要求的构造不符。

接着，我们构造出另一个数组 D，其第 i 个元素满足

$$ D_i=\left\lfloor\frac{C_i}{2^{i-1}}\right\rfloor\bmod 2,\quad1\leq i\leq n $$

其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示向下取整函数。这个数组的含义是将 C[i] 转化为二进制，取其最低位作为 D[i]。

最后，我们构造新数组 B，其第 i 个元素等于

$$ B_i=A_i+2D_i-1,\quad1\leq i\leq n $$

这个公式的含义是，B[i] 由 A[i] 和 D[i] 两个部分构成。如果 D[i] 是 0，那么 B[i] 就是奇数 A[i]-1；否则 B[i] 是偶数 A[i]。

代码实现

下面是 Python 代码的实现：

def construct_array(A):
    n = len(A)
    C = [1]*n
    for i in range(1, n):
        C[i] = C[i-1] if A[i] % 2 == 1 else C[i-1]*A[i-1]
    D = [0]*n
    for i in range(n):
        D[i] = (C[i]//2**(i-1))%2
    B = [0]*n
    for i in range(n):
        B[i] = A[i]+2*D[i]-1
    return B

该函数的参数 A 是一个数组，返回值为原数组 A 构造的新数组 B。时间复杂度为 $O(n)$。

总结

本文介绍了一种构造数组的方法，可以使得相同索引元素的绝对差最大为1。该算法使用了偶乘数组和二进制转化等技巧，时间复杂度为 $O(n)$。这个算法的思想可以应用于一些其他的问题中，如构造棋盘覆盖问题等。