具有 2 种或更多颜色边的 Graph 顶点的最大子集

当我们谈到 Graph 的顶点时，我们通常将它们简单地分为几种。但在某些情况下，我们可能需要更细致的分类。一个相对较常见的例子就是在一个 Graph 中寻找具有 2 种或更多颜色边的顶点的最大子集。

问题描述

给定一个 Graph（有向或无向，不限于连通），我们要找出具有 2 种或更多颜色边的顶点的最大子集。

一些术语的定义：

• 一个 Graph 的一个边被称为“颜色边”，当且仅当相邻顶点的权值不同。
• 具有 2 种或更多颜色边的顶点指的是该顶点的相邻边存在 2 种或更多的颜色边。

解决方案

这个问题最直接的思路就是暴力枚举出所有可能的子集，然后检查每个子集是否满足条件。但当 Graph 中的顶点数量较大时，这种方法显然是不可行的。因此，我们需要寻找一种更高效的解决方案。

算法思路

为了处理这个问题，我们可以使用动态规划算法。

我们首先定义一些必要的变量：

1. $dp[i][j]$：表示以第 $i$ 个点为结尾、前一个点的颜色为 $j$ 的最大长度；
2. $color[i]$：color[i]表示第 i 个节点的颜色。

那么，我们需要按照以下步骤来执行该算法：

1. 令 $dp[0][0] = 1$，其余的 $dp[0][i] = 0$；
2. 对于每个 $i \in [1, n]$，对于任何颜色 $j \in [1, m]$，都执行以下步骤：
   • 如果 $color[i] = j$，则将 $dp[i][j]$ 的值设置为 $dp[i - 1][j]$ + 1；
   • 否则，将 $dp[i][j]$ 的值设置为 $dp[i - 1][j']$ + 1，其中 $j' \ne j$，且 $color[i]$ 不等于 $j'$ 或所有 $j'$ 的值都不等于 $color[i]$；
3. 返回所有 $dp[n]$ 中的最大值。

算法实现

我们可以使用 Python 实现这个算法。下面是代码的实现及其注释：

def find_max_color_vertices(graph):
    """找出具有 2 种或更多颜色边的顶点的最大子集"""

    n = len(graph)  # 计算节点数量
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]  # 创建一个二维的 dp 列表
    colors = [0] + graph  # 将颜色插入到 Graph 中

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if colors[i] == colors[j]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][k] + 1 for k in range(1, n+1) if k != j and colors[i] != colors[k])

    # 返回 dp 中最大的值
    return max(max(dp[i]) for i in range(1, n + 1))

结论

这样，我们就成功地解决了用动态规划寻找 Graph 中具有 2 种或更多颜色边的顶点的最大子集这个问题。稍微解读一下我们的算法思路，就可以发现，它实际上很容易理解。不妨在实际情况中用 Python 实现一下这个算法来练习一下。