在给定条件下查找具有最大总和的子集

当需要在一个数组或集合中选择一个子集，使得该子集的元素和最大时，可以采用动态规划算法。此时，需要定义状态以及状态转移方程来解决问题。

状态定义

假设给定的集合为 $S=\left{a_1, a_2, \cdots, a_n\right}$，用 $f(i)$ 表示以 $a_i$ 结尾的子集中元素和的最大值。那么，问题的最终解即为 $\max_{i=1}^{n} f(i)$。

状态转移方程

在得到状态定义后，需要解决的问题是如何通过前面的状态来构造当前状态。具体而言，需要确定 $f(i)$ 和哪些状态有关，以及根据这些状态来计算 $f(i)$。

对于 $f(i)$，它可能从以下两种状态转移而来：

• 只包含 $a_i$ 的子集，即 $f(i) = a_i$；
• 包含了其他元素的子集，那么最后一个元素是 $a_i$，且该子集不包含 $a_{i-1}$，那么 $f(i) = a_i + \max{f(j)}$，其中 $j$ 的取值为 $1 \leq j \lt i$，且 $a_j \lt a_i$。

状态转移方程为：

$$ f(i) = \left{ \begin{aligned} &a_i & i = 1 \ &a_i + \max{f(j)} & 1 \lt i \leq n, a_j \lt a_i \ &a_i + \max{0, f(j)} & 1 \lt i \leq n, a_j \geq a_i \ \end{aligned} \right. $$

代码实现

以下是一个 Python 实现：

from typing import List

def find_largest_sum_subarray(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0
    dp = [nums[0]]
    for i in range(1, n):
        if nums[i] > 0:
            dp.append(dp[-1] + nums[i])
        else:
            dp.append(max(nums[i], dp[-1]))
    return max(dp)

以上代码中，dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的子集中元素和的最大值。如果 nums[i] 大于 0，则将其并入前面的子集中，即 $f(i) = a_i + \max{f(j)}$；否则，单独组成一个子集，即 $f(i) = a_i$。最后，遍历 dp 数组，返回其中的最大值。