在给定条件下找到总和最大的子集

当需要在给定条件下找到总和或者价值最大的子集时，可以使用动态规划的思想。具体而言，需要定义状态和状态转移方程，通过状态转移方程来求解最终结果。

问题描述

给定一个数组nums和一个目标值target，在数组中找到一个子集，使得该子集所有元素的和等于target。要求该子集中的元素不能重复选择，并且需要找到元素和最大的情况。如果不存在这样的子集，返回空集合。

例如，输入数组[2, 4, 6, 8]，目标值为10，可以找到一个子集[2, 8]，其元素和为10。如果目标值为9，则不存在符合条件的子集。

定义状态

设状态f(i,j)表示在数组nums[0...i]中选择一些数，使得它们的和为j时可以得到的最大和。对于给定的子集，如果能够得到目标值j，则状态f(i,j)为该子集的元素和；否则，状态f(i,j)为0。

状态转移

针对每个状态f(i,j)，需要分两种情况进行考虑：

1. 当不选择nums[i]时，状态不发生变化，即f(i,j) = f(i-1,j)；
2. 当选择nums[i]时，可以得到更大的子集，该子集的和为f(i-1,j-nums[i]) + nums[i]。因此，状态转移方程为：f(i,j) = max(f(i-1,j), f(i-1,j-nums[i]) + nums[i])。

最终的结果为f(n,target)，其中n为数组nums的长度。

代码实现

下面是使用Python实现上述算法的代码片段：

def maxSubset(nums, target):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (target+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, target+1):
            if j < nums[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-nums[i-1]] + nums[i-1])
    if dp[n][target] != target:
        return []
    else:
        res = []
        i, j = n, target
        while i > 0 and j > 0:
            if dp[i][j] != dp[i-1][j]:
                res.append(nums[i-1])
                j -= nums[i-1]
            i -= 1
        return res[::-1]

其中，数组dp为状态数组，dp[i][j]表示在数组nums[1...i]中找到和为j的子集的最大元素和。如果不存在这样的子集，则dp[i][j]=0。当dp[n][target]的值等于target时，即存在符合条件的子集，此时需要再次遍历dp数组，找到实际的子集元素。最后需要将子集元素反转，因为是从后往前填充的。

性能分析

以上算法的时间复杂度为O(nt)，其中t为目标值target的大小。因此，当目标值较大时，时间复杂度会相应增加。同时，在空间复杂度上需要使用二维数组dp来存储状态，因此空间复杂度为O(nt)。