满足给定条件的数组可能的最大子集

问题描述

给定一个整数数组 nums，找到其中所有通过以下条件构造出的最大子集：

1. 子集中的任意两个元素相除的结果均为整数。
2. 子集中的所有元素按非降序排列。

示例 1: 输入: nums = [1,2,3] 输出: [1,2] (当然，[1,3] 也是可能的)

解题思路

思路1：动态规划

• 给定数组 nums，定义 dp[i] 表示以 nums[i] 为结尾的最长子集；
• 再定义一个指针j，指向 i 之前的元素，通过全局变量max变量来记录最长子集的长度;
• 遍历数组nums，对于每个元素 nums[i]，从头开始遍历一遍前面的数组元素 nums[j]，如果 nums[i] % nums[j] == 0，那么就有 dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)；
• 由于最终要输出最长子集，所以要同时记录最大的子集长度 max_len 和其对应的下标 index；
• 迭代完 nums 数组后，从 index 开始往前倒推子集。

思路2：贪心

• 将nums升序排序；
• 定义一个空的数组 result 和一个整数 max_len，对数组中的每个元素 nums[i] 进行如下操作：
  • 初始化max为0；
  • 找到 result 中最大的元素 t，满足 nums[i] % t == 0，将 nums[i] 加到 t 后面，且更新 max 的值；
  • 如果 max 大于 result 中的元素个数，则说明找到了新的最长子集，更新 result 和 max_len。

复杂度分析

思路1：动态规划

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$

思路2：贪心

• 时间复杂度：$O(nlogn+n^2)$，其中排序的时间复杂度为 $O(nlogn)$，遍历数组的时间复杂度为 $O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$

代码示例

思路1：动态规划

class Solution:
    def largestDivisibleSubset(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        n = len(nums)
        if n <= 1:
            return nums

        nums.sort()
        dp = [1]*n
        max_len = 1
        index = 0

        for i in range(1, n):
            for j in range(i):
                if nums[i] % nums[j] == 0:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
            if dp[i] > max_len:
                max_len = dp[i]
                index = i

        result = []
        t = nums[index]
        for i in range(index, -1, -1):
            if t % nums[i] == 0 and dp[i] == max_len:
                result.append(nums[i])
                t = nums[i]
                max_len -= 1

        return result

思路2：贪心

class Solution:
    def largestDivisibleSubset(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        n = len(nums)
        if n <= 1:
            return nums

        nums.sort()
        result = []
        max_len = 0

        for i in range(n):
            temp = []
            for j in range(max_len):
                if nums[i] % result[j] == 0:
                    temp.append(result[j])
            temp.append(nums[i])
            result = temp
            max_len = max(max_len, len(result))

        return result