使用更新计算数组的按位或的查询

在某些情况下，我们需要对一个数组进行按位或的操作，并得到其中元素的总和。为此，我们可以使用更新算法来实现这个目标。

更新算法的思路

更新算法是一种用于处理动态数组的技术。其基本思路是将数组分解为一些子数组，并分别处理这些子数组。我们可以将数组分解为一些大小相等的子数组，每个子数组的大小为 $k$，其中 $k$ 是 2 的某个幂次方。然后，我们可以用一棵树来表示这些子数组。树的每个叶子节点表示一个子数组，而非叶子节点表示两个子数组的并集。

在更新算法中，我们需要保证每个非叶子节点的值都是其子节点的按位或的结果。对于每个叶子节点，我们可以把它当做一个元素。这样，我们就可以用 $O(k)$ 的时间来计算每个子数组的按位或。由于树的高度只有 $\log n$，因此可以在 $O(n \log n)$ 的时间内计算整个数组的按位或的结果。

代码示例

下面的代码片段演示了如何使用更新算法来计算一个数组的按位或的结果。其中，calculate_subarray_or 函数用于计算子数组 arr[l:r] 的按位或，而 update 函数用于更新树中某个节点的值。

def calculate_subarray_or(arr, l, r):
    or_result = arr[l]
    for i in range(l + 1, r):
        or_result |= arr[i]
    return or_result

def update(tree, node, value):
    tree[node] = value
    while node > 1:
        node //= 2
        tree[node] = tree[2 * node] | tree[2 * node + 1]

def calculate_array_or(arr):
    n = len(arr)
    k = 1
    while k < n:
        k *= 2
    
    tree = [0] * (2 * k)
    for i in range(n):
        tree[k + i] = arr[i]
    
    for i in range(k - 1, 0, -1):
        tree[i] = tree[2 * i] | tree[2 * i + 1]
    
    or_result = 0
    for i in range(n):
        update(tree, k + i, arr[i])
        or_result += tree[1]
    
    return or_result

在这个例子中，我们首先找到一个最小的 2 的幂次方 $k$，使得 $k \geq n$。然后，我们将数组放在一棵叶子节点为 $k$ 的树中。接着，我们沿着从叶子节点到根节点的路径更新每个非叶子节点的值。最后，我们为数组中的每个元素计算更新后的按位或，并将结果相加。